Vilken version av kedjeregeln åberopar författarna på sista raden?

Sätt a + tv = x(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Ah, fattade precis innan du postade ditt inlägg! Tack så mycket! :D

Bara så att jag fattade det rätt, visst använder de den mervariabla kedjeregeln här? Eftersom $\mathbf{a}+t\mathbf{v}$ är en vektor kan vi, utan förlust av allmängiltighet, anta att $\mathbf{a}+t\mathbf{v} = (S_1(t), S_2(t),...,S_n(t))$. Då har vi:

$\displaystyle h^\prime\left(t\right)=\frac{d }{dt}f\left(\mathbf{a}+t\mathbf{v}\right)=\frac{\partial f }{\partial S_1}\frac{d S_1}{dt}+...+\frac{\partial f}{\partial S_n}\frac{d S_n}{dt}=\frac{\partial f}{\partial S_1}v_1+...+\frac{\partial f}{\partial S_n}v_n$

$\displaystyle =\nabla f\left(S_1,S_2,...,S_n\right)\cdot \mathbf{v}= \nabla f \left(a+t\mathbf{v}\right)\cdot \mathbf{v}$

Jepp.

Så när vi tar gradienten av en funktion $f(x_1,x_2,...,x_n)$ så spelar det ingen roll för resultatet om $x_1,...,x_n$ eventuellt också beror på någon annan variabel? T.ex:

$\displaystyle \nabla f\left(x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),...,x_n\left(t\right)\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$

dvs. beroendet av varje $x_i$ på $t$ behöver inte beaktas?

Ja, så fungerar ju den vanliga kedjeregeln också.

D(f(g(t)) = Df(g(t))•Dg(t).

Det kan vara av intresse att uttrycka kedjeregeln utan att nämna den oberoende variabeln t.

$D\left(f\circ g\right)=\left[\left(Df\right)\circ g\right]·Dg$.

Hur kan detta göras på liknande sätt om g: R^k -> R^m, f: R^m -> Rⁿ?

Tillägg: 26 aug 2025 14:18

Dvs

${\partial }_i\left(f\circ g\right)=...$