Vilket alternativ stämmer för alla reella tal på x?

Så länge vi pratar om reella tal så gäller det att roten ur a är definierat som det icke-negativa tal b för vilket det gäller att b² = a.

Du blandar kanske ihop det med att ekvationen b² = a har lösningarna b = $\pm\sqrt{a}$. Det är fortfarande så att $\sqrt{a}$ är $\geq$ 0.

När man använder kvadratrotsymbolen så MENAS den positiva kvadratroten och inget annat. Man har bestämt så för att ”kvadratroten ur”ska vara ENTYDIGT. Eftersom en andragradsekvationen x² = a har två reella lösningar om a>=0 (och ingen reell lösning annars) måste man därför särskilt markera + - framför kvadratroten för att få med båda lösningarna.

Jag förstår fortfarande inte riktigt varför det inte går att tänka som jag sa. Förstår inte riktigt det här med a och b…

Du kan tänka så här:

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|$

Det spelar ingen roll om $a>0$ eller $a<0$. Utvärdet blir alltid positivt.

Problemet med din tankegång:

Om man tar roten ur ett tal som är upphöjt till 2 (eller upphöjt till vilket positivt tal som helst) så kan ju svaret alltid bli +/- X? -X² = X².

är att den inte stämmer. Det stämmer t.ex. inte att $\sqrt{4^2}=\pm 4$. Istället gäller (som vi tidigare skrivit) att $\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$.

Däremot gäller det att ekvationen $x^2=16$ har lösningarna $x=\pm4$ eftersom både $4^2$ och $(-4)^2$ är lika med $16$.

Det var det jag undrade om du blandade ihop.

Yngve skrev:

Det stämmer t.ex. inte att 42−−√=±442=±4.

Det vet jag men roten ur 16 borde väll ändå bli +/- 4 och inte bara 4 som du skrev?

karisma skrev:

Det vet jag men roten ur 16 borde väll ändå bli +/- 4 och inte bara 4 som du skrev?

Nej, det är just det som är grejen.

Roten ur 16 är definierat som det icke-negativa tal b för vilket det gäller att b² = 16.

Med denna definition får vi att roten ur 16 är lila med 4 och inget annat.

Att (-4)² = 16 är en annan sak och motsäger inte på något sätt det jag just skrev.

Eftersom $\sqrt{x^{2}}=|x|$ så kan man tänka att man vill lösa $|x|=-x$, och detta samband, av definitionen av absolutbelopp, stämmer för alla $x \leq 0$.

Kvadratroten ur a är "det icke-negativa  tal b sådant att b² = a". Det är entydigt. 

Ekvationen b² = a har två lösningar, b och -b.

$\sqrt{x^2}=x, x\ge 0$
$\sqrt{x^2}=-x, x<0$

Smaragdalena skrev:

Ekvationen b² = a har två lösningar, b och -b.

Smaragdalena menar troligtvis att de två lösningarna är $b=\sqrt{a}$ och $-b=\sqrt{a}$, vilket är samma sak som $b=\pm\sqrt{a}$

Yngve har rätt, det var det jag menade (och inte såg att jag inte hade skrivit...).