2 svar
69 visningar
naytte är nöjd med hjälpen
naytte Online 4218 – Moderator
Postad: 7 jul 00:08 Redigerad: 7 jul 17:17

Visa integrerbarhet för summa av funktioner och additivitet av Riemannintegralen

Hej! Jag sitter med uppgiften nedan:

Suppose f,g:[a,b]f,g:[a,b] \to \mathbb{R} are integrable. Prove that f+gf+g is Riemann (Darboux) integrable on [a,b][a,b] and

abf+g=abf+abg\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f+g \right)=\int_{a}^{b}f+\int_{a}^{b}g

Mitt försök ser ut på följande vis:

Låt εR>0\varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0}. Då ff och gg är integrerbara kan vi välja partitioner pp och p'p', av [a,b][a,b], sådana att:

Uf,p-Lf,p<ε2\displaystyle U\left(f,p\right)-L\left(f,p\right)<\frac{\varepsilon}{2}

Ug,p'-Lg,p'<ε2\displaystyle U\left(g,p'\right)-L\left(g,p'\right)<\frac{\varepsilon}{2}

Skapa en ny partition P=pp'P = p \cup p'. Vi ser enkelt att Uf,PUf,pU\left(f,P\right)\le U\left(f,p\right) samt att Lf,PLf,pL\left(f,P\right)\ge L\left(f,p\right). Detta medför att:

Uf,P-Lf,PUf,p-Lf,p<ε2Uf,P-Lf,P<ε2\displaystyle U\left(f,P\right)-L\left(f,P\right)\le U\left(f,p\right)-L\left(f,p\right)<\frac{\varepsilon}{2}\implies U\left(f,P\right)-L\left(f,P\right)<\frac{\varepsilon}{2}

Vi kan använda samma argument för gg och erhåller då slutligen:

Uf,P-Lf,P+Ug,P-Lg,P<ε\displaystyle U\left(f,P\right)-L\left(f,P\right)+\left(U\left(g,P\right)-L\left(g,P\right)\right) < \varepsilon

Om man arrangerar om termerna lite grand ser man att:

Uf,P+U(g,P)-Lf,P+Lg,P<ε\displaystyle U\left(f,P\right)+U(g,P)-\left(L\left(f,P\right)+L\left(g,P\right)\right)<\varepsilon

Översummorna och undersummorna kan skrivas ihop (går att visa med definitionen för Darbouxsumman), och olikheten blir då:

Uf+g,P-Lf+g,P<ε\displaystyle U\left(f+g,P\right)-L\left(f+g,P\right)<\varepsilon \blacksquare

Det jag hoppas att jag lyckats visa nu är att om f,gf,g är integrerbara (vilket jag försökte utnyttja med olikheterna i början), så kommer det för alla ε>0\varepsilon >0, finnas en partition PP av [a,b][a,b], sådan att:

Uf+g,P-Lf+g,P<ε\displaystyle U\left(f+g,P\right)-L\left(f+g,P\right)<\varepsilon

vilket medför integrerbarhet för f+gf+g.

Har jag gjort några icke-generella antaganden här, eller något knasigt i allmänhet?


Och vad gäller den andra delfrågan tänker jag så här:

Vi vet att f+gf+g är integrerbar. Om vi väljer att betrakta översumman ser vi då att:

abf+g=infi=1nxi-xi-1sup[xi-1,xi]f+g=infi=1n[xi-xi-1sup[xi-1,xi]f+xi-xi-1sup[xi-1,xi]g]\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f+g\right)= \inf\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-x_{i-1}\right)\sup_{[x_{i-1},x_i]}\left(f+g\right)=\inf\sum_{i=1}^{n}[\left(x_i-x_{i-1}\right)\sup_{[x_{i-1},x_i]}f+\left(x_i-x_{i-1}\right)\sup_{[x_{i-1},x_i]}g]

=infi=1nxi-xi-1sup[xi-1,xi]f+infi=1nxi-xi-1sup[xi-1,xi]g=Uf+Ug=abf+abg\displaystyle =\inf\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-x_{i-1}\right)\sup_{[x_{i-1},x_i]}f+\inf\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-x_{i-1}\right)\sup_{[x_{i-1},x_i]}g=U\left(f\right)+U\left(g\right)=\int_{a}^{b}f+\int_{a}^{b}g

bump

bump 2


Tillägg: 10 jul 2024 21:01

Fick en bekräftelse på att det stämde, så jag grönmarkerar! :D

Svara Avbryt
Close