13 svar
64 visningar
detrr är nöjd med hjälpen!
detrr 2175
Postad: 1 nov 2018

Visa att 8523 är delbart med 3 om siffersumman 8 + 5 + 2 + 3 är delbar med 3

Hej, i min mattebok finns denna uppgift: 

Visa att 8523 är delbart med 3 om siffersumman 8 + 5 + 2 + 3 är delbar med 3. 

Och jag vet inte riktigt hur jag ska komma igång med uppgiften, hur jag ska börja tänka för att lösa den. 

AlvinB 3030
Postad: 1 nov 2018

Tänk kongruenslagarna! Du vill visa att

85230 (mod3)8523\equiv0\ \pmod{3}

med hjälp av siffersumman. Börja med att tänka hur du kan uttrycka talet 85238523 med hjälp av dess siffror.

detrr 2175
Postad: 1 nov 2018

Jag kan bryta ner 8523 enligt följande:

8523 = 8 · 1000 + 5 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1 

AlvinB 3030
Postad: 1 nov 2018

Just det. Kika nu på tiopotenserna. Kan du förenkla dem med någon kongruenslag?

detrr 2175
Postad: 1 nov 2018

8523 = 8 · 103  + 5 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 Menar du så?

Sen kan man använda sig av den tredje kongurenslagen, den som lyder såhär: am  (mod n) = (a (mod n))m

 

Men jag vet inte riktigt hur jag ska använda mig av den för man kan också använda sig av den andra kongurenslagen som handlar om multiplikation. Blir det då såhär?

 

8523 = 8 · 103  (mod 3) + 5 · 102  (mod 3) + 2 · 101 (mod 3) + 3 · 100  (mod 3)

AlvinB 3030
Postad: 1 nov 2018 Redigerad: 1 nov 2018

Ditt första förslag låter utmärkt. Vad blir 10 (mod3)10\ \pmod{3}?

Vad blir då kongruensen av 8523=8·103+5·102+2·101+3·1008523=8\cdot10^3+5\cdot10^2+2\cdot10^1+3\cdot10^0?

detrr 2175
Postad: 1 nov 2018

 

10 (mod 3) = 1103 (mod 3)  (10 (mod 3))3 = 13 (mod 3) = 1

Då borde det vara samma sak för de övriga två. Blir det sen såhär: 

 

8523 (mod 3)  8 · 1 + 5 · 1 + 2 · 1 + 3 ·1 (mod 3)  18 (mod 3) = 0 (mod 3) 

AlvinB 3030
Postad: 1 nov 2018

Ja, just det! Eftersom 10n1 (mod3)10^n\equiv1\ \pmod{3} försvinner alla tiopotenserna och kvar får vi siffersumman:

8·103+5·102+2·101+3·1008+5+2+3 (mod3)8\cdot10^3+5\cdot10^2+2\cdot10^1+3\cdot10^0\equiv8+5+2+3\ \pmod{3}

Man kan alltså konstatera att kongruensen för siffersumman modulo tre är samma som för hela talet. Det ger sedan att om siffersumman är delbar med tre (kongruensen noll) måste talet också vara det.

detrr 2175
Postad: 1 nov 2018

Är det så för alla tal? Dvs att kongruensen för siffersumman modulo n är samma som för hela talet, om siffersumman är delbar med n (kongruensen noll) måste talet också vara det. 

 

Eller råkar det bara vara det i denna uppgift? 

AlvinB 3030
Postad: 1 nov 2018

Pröva! Byt ut n=3n=3 mot exempelvis n=4n=4. Får du samma resultat?

detrr 2175
Postad: 1 nov 2018
AlvinB skrev:

Pröva! Byt ut n=3n=3 mot exempelvis n=4n=4. Får du samma resultat?

 8523 är inte delbart med 4 så det borde inte gå. 

AlvinB 3030
Postad: 1 nov 2018 Redigerad: 1 nov 2018
detrr skrev:
AlvinB skrev:

Pröva! Byt ut n=3n=3 mot exempelvis n=4n=4. Får du samma resultat?

 8523 är inte delbart med 4 så det borde inte gå. 

 Just det - det gäller inte för fyra.

Det centrala ligger i att 101 (mod3)10\equiv1\ \pmod{3} vilket enbart gäller för 99 och 33. Det är därför som "delbarhetsregeln" för delbarhet med tre är att testa siffersumman medans man har andra regler för 2,4,5,...2,4,5,....

detrr 2175
Postad: 1 nov 2018

Okej, då förstår jag. Tack för hjälpen! :)

Bubo 2974
Postad: 1 nov 2018

Alternativ lösning:

8*(999+1)+5*(99+1)+2*(9+1)+3

Vadsomhelst gånger 999 eller 99 eller 9 är delbart med 3. Kvar att undersöka är 8+5+2+3.

Svara Avbryt
Close