Visa att B _inte_ är ett underrum till V

Halloj!

Jag sitter med uppgift (b) i uppgiften nedan och skulle vilja veta om jag har tänkt rätt:

Jag tänker att för att visa att $B$ inte är ett underrum till $V$ så måste vi visa att $B$ inte är sluten under någon av operationerna på $V$ . Mer specifikt tänker jag på addition. Jag resonerar på följande vis:

Låt $\{a_n\}\in B_m$ och $\{b_n\}\in B_k$ med $k > m$ . Då har vi:

$\displaystyle \{a_n\} + \{b_n\} = \{a_1+b_1, a_2+b_2,...\}$

Vi har då:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{m}\left(a_n+b_n\right)=a_1+b_1+...+a_m+b_m=\underbrace{a_1+a_2+...+a_m}_{=\;0\;\text{per def. av }\{a_n\}}+b_1+b_2+...+b_m$

$\displaystyle = b_1+b_2+...+b_m$

Eftersom det inte är nödvändigt att $b_1+b_2+...+b_m = 0$ måste inte heller hela summan vara lika med noll, och vi har alltså att mängden $B$ inte är sluten under addition och alltså därför inte är ett underrum till $V$ .

Måste du inte visa att $\sum_{n = 1}^{M} (a_{n} + b_{n}) \neq 0, \forall M \geq 1$ ?

Jo, insåg det precis i denna stund.

Återkommer.

Argumentet bör dock bli ungefär likadant. Vi kan garantera att $a_1+a_2+...+a_m =0$ samt $b_1+b_2+...+b_k = 0$ , men vi kan inte säga något om $a_{m+1}+a_{m+2}+...+b_{k+1}+...$

För att visa att $B$ inte är ett underrum, så räcker det att hitta ett konkret motexempel, d.v.s. två talföljder vars summa inte ligger i $B$

Visa spoiler

$\{a_n\}_{n=1}^\infty = \{1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \} \in B_2 \subset B$
$\{b_n\}_{n=1}^\infty = \{0, 1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots \} \in B_1 \subset B$
$\{a_n\}_{n=1}^\infty + \{b_n\}_{n=1}^\infty= \{1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \} \notin B$

Svara

Visa senaste svar