6 svar
64 visningar
naytte är nöjd med hjälpen
naytte 4221 – Moderator
Postad: 4 jul 20:25 Redigerad: 4 jul 21:40

Visa att f är konstant om undre Riemannsumma är lika med övre Riemannsumma

Hej! Jag sitter med följande uppgift ur en mattebok jag har hemma:

Suppose f:[a,b]f:[a,b] \to \mathbb{R} is a bounded function, such that L(f,P,[a,b])=U(f,P,[a,b])\displaystyle L(f,P,[a,b])=U(f,P,[a,b]), for some partition PP of [a,b][a,b]. Prove that ff is a constant function on [a,b][a,b].

Jag tänkte att om både övre och undre Riemannsumma ska vara lika, för samma partionering, kan vi säga att:

inf[xj-1,xj]f=sup[xj-1,xj]f\displaystyle \inf_{[x_{j-1},x_j]} f=\sup_{[x_{j-1},x_j]} f

Om supremet till ff är samma som dess infimum, över samma intervall, betyder det att funktionen måste vara konstant över det. Om det dessutom gäller för alla (tillåtna) jj\in\mathbb{N} måste det vara sant över hela [a,b][a,b], eftersom:

[a,b]=[x0,x1][x1,x2]...[xj-1,xj]\displaystyle [a,b]=[x_0,x_1]\cup [x_1,x_2]\cup ...\cup [x_{j-1},x_j]

Är detta rätt tänkt?


Ifall detta inte är allmängiltig notation definieras:

Uf,P,a,b:=j=1nxj-xj-1sup[xj-1,xj]f\displaystyle U\left(f,P,\left[a,b\right]\right):=\sum_{j=1}^{n}\left(x_j-x_{j-1}\right)\sup_{[x_{j-1},x_j]}f

och den nedre summan definieras på motsvarande sätt med inf\inf istället.

Tomten 1751
Postad: 4 jul 22:29

Låt intervallet vara [0,2] Sätt f=0 på [0,1) och f=1 på [1,2] Då är över- och undersumman lika för alla partitioner med en delning vid x=1, men f är inte konstant. Det verkar saknas något i texten eller borde ordet ”some” ersättas med ” every”? Kanske något annat jag inte ser.

naytte 4221 – Moderator
Postad: 4 jul 23:47 Redigerad: 5 jul 00:48

Nu kanske jag är ute och cyklar, men över- och undersumman är väl inte alls lika i ditt fall? Partitionen PP måste ju innehålla ett delintervall [xj-1,xj][x_{j-1},x_j] sådant att xj-1<1x_{j-1}<1, medan xj1x_j\ge 1. Och i detta fall blir ju supremum och infimum till ff olika i det delintervallet.


Här är för övrigt en bild ur boken:

 

Tomten 1751
Postad: 5 jul 07:03 Redigerad: 5 jul 07:05

Påståendet säger att det räcker med En partition P för att vara sant. Jag valde en P där x=1 är en delningspunkt. I denna P finns inget delintervall där x=1 är en inre punkt. I intervallet [0,1) är sup f = inf f =0. I intervallet [1,2] är sup f = inf f=1. Då är f inte konstant i [0,2]. 

Tomten 1751
Postad: 5 jul 08:27

Om ordet ”some” ersätts med ”every” så   kommer påst att stämma. Ty antag att f(a) är skilt från f(b) någonstans i intervallet. Då kan vi välja en P med ett delintervall som omfattar både a och b och få motsägelse till att under- resp översumman är lika.

naytte 4221 – Moderator
Postad: 5 jul 12:57 Redigerad: 5 jul 12:59

I intervallet [0,1) är sup f = inf f =0. I intervallet [1,2] är sup f = inf f=1. Då är f inte konstant i [0,2]. 

Det håller jag med om. Men över- och undersumman är väl endast definierade på stängda intervall? Alltså måste vi kolla på intervallen [0,1][0,1] samt [1,2][1,2]. Och då ser vi mycket riktigt att:

inf[0,1]fsup[0,1]f\displaystyle \inf_{[0,1]}f ≠ \sup_{[0,1]}f

Tomten 1751
Postad: 5 jul 15:27

 En partition behöver vara disjunkt om man ska använda den för att definiera integral och det får man nog utgå från här.(Gäller både Riemann och Lebesgue). Annars kan det finnas delmängder som får bidra mer än en gång till integralens värde. Med slutna eller öppna mängder kan integrationsområdet i så fall inte vara sammanhängande som i mitt exempel.

Svara Avbryt
Close