Visa att funktionsserien konvergerar likformigt på R

Halloj!

Jag sitter med uppgiften nedan:

Jag har försökt resonera så här:

Vi börjar med att konstatera att funktionsföljden $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ definieras av:

$\displaystyle f_k\left(x\right) = \sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n^2+x^2}$

Vi konstaterar vidare att:

$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\sup_{x}\left|\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n^2+x^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}\right|=\lim_{k\to\infty}\sup_{x}\left|\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}\right|=\lim_{k \to \infty} \sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=0$

Så vi har att $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\sup_{x}\left|f_k(x)-f(x)\right|=0$ , vilket innebär per definition att funktionsföljden konvergerar likformigt.

Är detta korrekt? Det känns konstigt att blanda in funktionsbegreppet när vi betraktar en serie men jag vet inte vad likformig konvergens innebär utanför funktionsföljder.

Jag tror det i princip är korrekt, men observera att för att addera eller subtrahera partiella summor från en serie behöver du väl anta att serien konvergerar, något som uppgiften vill att du ska visa.

Jag skulle istället bara resonera att $\lim\sup |f_n(x)|\to 0$ genom att

$\sup_x \frac{1}{n^2+x^2}\leq \frac{1}{n^2}$

Tack för svar! Jag har dock en fundering kring ditt första stycke. Måste man verkligen anta att serien konvergerar för att kunna skriva om differensen som jag gjorde?

Låt säga att vi har en summa $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ . Varje delsumma till denna serie kommer ju trivialt vara konvergent eftersom den är ändlig, oavsett om serien $\sum a_n$ är konvergent eller ej. Detta förutsätter väl alltså varken konvergens eller divergens:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{k}a_n-\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sum_{n=0}^{k}a_n-\underbrace{\left(\underbrace{\sum_{n=0}^{k}a_n}_{<\infty}+\sum_{n=k+1}^{\infty}a_n\right)}_{\text{=}\sum_{n=0}^{\infty}a_n}=-\sum_{n=k+1}^{\infty}a_n$

Btw. känner du till Weierstraß M-test? Bevismetoden du presenterat är egentligen samma som den som används i beviset av Weierstraß sats.

När det gäller omskrivningen $\displaystyle |\sum_1^k a_n\left(x\right) - \sum_1^\infty a_n\left(x\right)| = |\sum_{k+1}^\infty a_n\left(x\right)|$ , så kan man råka ut för likheten av odefinierade objekt, vilket bör undvikas.

Att serien är divergent kan betyda två olika saker - antingen är seriens summa väldefinierad (oändlig), eller så är seriens summa meningslös/odefinierad (t.ex. $\sum_1^\infty (-1)^n x^n$ då $x \ge 1$ ).

Är summan väldefinierad (möjligtvis oändlig), så är det inga problem med den omskrivningen. Är summan odefinierad, så bör man inte skriva någon likhet.

(Här är alla termer positiva, så summan är väldefinierad.)

Nej, jag känner inte till Weierstraß M-test men jag ska kolla in det nu. Satsen ingår faktiskt i kursen men jag hade glömt av att kolla upp den... (tack för påminnelsen!)

Men kan jag tolka det som att mitt resonemang är korrekt, så länge jag också motiverar varför min omskrivning är OK (tack vare att summan är väldefinierad)?

Ja precis, "konvergens" mot oändligheten är ett specialfall av en divergent serie, eller om vi väljer att betrakta det som faktisk konvergens i den utökade reella tallinjen. Omskrivningen, alltså räknelagen

$\sum_k x_k +\sum_k y_k = \sum_k (x_k + y_k)$

gäller även för denna utökade form av konvergens, i bemärkelsen att HL = VL även när en av serierna går mot $\pm \infty$ och den andra mot något ändligt.

Jag tycker nog det är rimligt att man får anta att serien i uppgiften är väldefinierad, så jag får backa min tidigare invändning.

Svara

Visa senaste svar