18 svar
147 visningar
Anna1 är nöjd med hjälpen!
Anna1 44
Postad: 28 dec 2018

Visa att n! + (n-1)! = (n^2-1)(n-2)!

Hej! Jag skulle behöva hjälp med bevisa den här likheten.

Så här har jag tänkt:

vl = n! + (n-1)! = n! + (n-1) x (n-2)!

jag har försökt utveckla vänster-led så här men kommer inte längre än så.

jag förstår inte hur jag ska få till (n^2-1) termen?

 

Tack på förhand! :)

Börja med högerledet istället. Använd konjugatregeln på den första faktorn. Fråga igen om du behöver mer hjälp.

Anna1 44
Postad: 28 dec 2018

Tack för det snabba svaret!

 

Då blir högerledet så här:

 

Hl = (n+1)(n-1)(n-2)!

 

men jag kommer inte vidare, jag förstår inte hur jag ska fortsätta.

Hur kan du skriva (n-1)(n-2)! på ett enklare sätt?

Anna1 44
Postad: 28 dec 2018

Jag vet inte riktigt, kanske att jag fortsätter att utveckla (n-2)! men då blir uttrycket inte förenklat..

 

(n+1)(n-1)(n-2)(n-3)!  men detta verkar bara onödigt, förstår inte riktigt hur jag ska förenkla (n-1)(n-2)!  :/

Laguna 5317
Postad: 28 dec 2018

Jag provar från andra hållet: hur blir det om man skriver ut några faktorer i n!  ?

Hur kan man skriva 3·2!3\cdot2! på ett enklare sätt? Hur kan man skriva 4·3!4\cdot3! på ett enklare sätt? Hur kan man skriva 5·4!5\cdot4! på ett enklare sätt? Detta är menat som en ledtråd för att du skall kunna skriva (n-1)(n-2)! på ett enklare sätt.

Anna1 44
Postad: 28 dec 2018

 

3 ⋅ 2!  borde kunna skrivas om som 3!

så då borde jag kunna skriva om (n-1)(n-2)! som (n-1)! 

Då blir högerledet  :  (n+1)(n-1)!  om jag har tänkt rätt..

Då har jag fått till (n-1)!- termen, men då är frågan hur jag ska få fram n!  ?

Yngve 11792 – Mattecentrum-volontär
Postad: 28 dec 2018 Redigerad: 28 dec 2018

Alternativ lösning: Jag skulle istället utgå från VL och faktorisera det.

Eftersom n! = n*(n-1)! så är n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

Eftersom (n-1)! = (n-1)*(n-2)! så är (n+1)*(n-1)! = (n+1)*(n-1)*(n-2)!

Kan du fortsätta själv därifrån?

Vad händer om du multiplicerar dels nn och dels  11 (som du har i den första parentesen) med (n-1)!?

Anna1 44
Postad: 28 dec 2018

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

Anna1 skrev:

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

Ja (men du råkade skriva (n^2-1) * (n-1)! istället för (n^2-1) * (n-2)!).

Pröva gärna att lösa uppgiften enligt de andra tipsen du fått, nämligen att utgå från HL.

Anna1 44
Postad: 28 dec 2018

Dock så hänger jag inte riktigt med på det här steget:

 

n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

 

jag förstår inte hur n*(n-1)! + (n-1)! kan skrivas om till  (n+1)*(n-1)!

Smaragdalena Online 26901 – Moderator
Postad: 28 dec 2018 Redigerad: 28 dec 2018
Anna1 skrev:

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

 Men nu har du väl börjat med högerledet, manipulerat det, manipulerat det lite till och visat att HL = HL. Det har du inte mycket glädje av.

HL=(n2-1)(n-2)HL=(n^2-1)(n-2) använd konjugatregeln baklänges på första parentesen

=(n+1)(n-1)(n-2)!=(n+1)(n-1)(n-2)! multiplicera fakulteten med (n-1)

=(n+1)(n-1)!=n·(n-1)!+1·(n-1)!=(n+1)(n-1)!=n\cdot(n-1)!+1\cdot(n-1)! multiplicera fakulteterna med de båda termerna i parentesen

=n!+(n-1)!=VL=n!+(n-1)!=VL

Anna1 skrev:

Dock så hänger jag inte riktigt med på det här steget:

 

n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

 

jag förstår inte hur n*(n-1)! + (n-1)! kan skrivas om till  (n+1)*(n-1)!

Det är för att (n-1)! är en gemensam faktor i de båda termerna som alltså kan brytas ut.

Om du har svårt att se det kan du förenkla genom att kalla (n-1)! för A

Då kan uttrycket n*(n-1)! + (n-1)! skrivas n*A + A och du ser då lätt att A är en gemensam faktor som du kan bryta ut: n*A + A = (n+1)*A

Albiki Online 4073
Postad: 28 dec 2018

Hej!

Från vänster till höger. Det gäller att n!=(n-1)!·nn! = (n-1)! \cdot n vilket ger summan

    n!+(n-1)!=(n-1)!·n+(n-1)!=(n-1)!·(n+1).n! + (n-1)! = (n-1)! \cdot n + (n-1)! = (n-1)! \cdot (n+1).

Det gäller att (n-1)!=(n-2)!·(n-1)(n-1)! = (n-2)! \cdot (n-1) vilket ger produkten

    (n-1)!·(n+1)=(n-2)!·(n-1)(n+1).(n-1)! \cdot (n+1) = (n-2)! \cdot (n-1)(n+1).

Konjugatregeln ger nu uttrycket som står i högerledet.

Från höger till vänster. Det gäller att n2-1=(n+1)(n-1)n^2-1 = (n+1)(n-1) vilket ger produkten

    (n2-1)·(n-2)!=(n+1)·(n-1)·(n-2)!(n^2-1)\cdot (n-2)! = (n+1)\cdot (n-1) \cdot (n-2)!.

Det gäller att (n-1)·(n-2)!=(n-1)!(n-1)\cdot (n-2)! = (n-1)! vilket ger produkten

    (n+1)·(n-1)!=n·(n-1)!+(n-1)!(n+1)\cdot (n-1)! = n \cdot (n-1)! + (n-1)!.

Vänsterledet följer från att det gäller att n·(n-1)!=n!n \cdot (n-1)! = n!.

Anna1 44
Postad: 28 dec 2018
Yngve skrev:
Anna1 skrev:

Dock så hänger jag inte riktigt med på det här steget:

 

n! + (n-1)! = n*(n-1)! + (n-1)! = (n+1)*(n-1)!

 

jag förstår inte hur n*(n-1)! + (n-1)! kan skrivas om till  (n+1)*(n-1)!

Det är för att (n-1)! är en gemensam faktor i de båda termerna som alltså kan brytas ut.

Om du har svårt att se det kan du förenkla genom att kalla (n-1)! för A

Då kan uttrycket n*(n-1)! + (n-1)! skrivas n*A + A och du ser då lätt att A är en gemensam faktor som du kan bryta ut: n*A + A = (n+1)*A

  

Ja, såklart!  Tack! 

Anna1 44
Postad: 28 dec 2018
Smaragdalena skrev:
Anna1 skrev:

Tack så mycket, nu tror jag att jag äntligen förstår!

 

då borde jag kunna skiva om (n+1)* (n-1) * (n-2)! genom konjugatregeln och det blir det:

(n^2-1) * (n-1)!   Vl = HL

 Men nu har du väl börjat med högerledet, manipulerat det, manipulerat det lite till och visat att HL = HL. Det har du inte mycket glädje av.

HL=(n2-1)(n-2)HL=(n^2-1)(n-2) använd konjugatregeln baklänges på första parentesen

=(n+1)(n-1)(n-2)!=(n+1)(n-1)(n-2)! multiplicera fakulteten med (n-1)

=(n+1)(n-1)!=n·(n-1)!+1·(n-1)!=(n+1)(n-1)!=n\cdot(n-1)!+1\cdot(n-1)! multiplicera fakulteterna med de båda termerna i parentesen

=n!+(n-1)!=VL=n!+(n-1)!=VL

  Tack så mycket !

Anna1 44
Postad: 28 dec 2018
Albiki skrev:

Hej!

Från vänster till höger. Det gäller att n!=(n-1)!·nn! = (n-1)! \cdot n vilket ger summan

    n!+(n-1)!=(n-1)!·n+(n-1)!=(n-1)!·(n+1).n! + (n-1)! = (n-1)! \cdot n + (n-1)! = (n-1)! \cdot (n+1).

Det gäller att (n-1)!=(n-2)!·(n-1)(n-1)! = (n-2)! \cdot (n-1) vilket ger produkten

    (n-1)!·(n+1)=(n-2)!·(n-1)(n+1).(n-1)! \cdot (n+1) = (n-2)! \cdot (n-1)(n+1).

Konjugatregeln ger nu uttrycket som står i högerledet.

Från höger till vänster. Det gäller att n2-1=(n+1)(n-1)n^2-1 = (n+1)(n-1) vilket ger produkten

    (n2-1)·(n-2)!=(n+1)·(n-1)·(n-2)!(n^2-1)\cdot (n-2)! = (n+1)\cdot (n-1) \cdot (n-2)!.

Det gäller att (n-1)·(n-2)!=(n-1)!(n-1)\cdot (n-2)! = (n-1)! vilket ger produkten

    (n+1)·(n-1)!=n·(n-1)!+(n-1)!(n+1)\cdot (n-1)! = n \cdot (n-1)! + (n-1)!.

Vänsterledet följer från att det gäller att n·(n-1)!=n!n \cdot (n-1)! = n!.

  Tack så jättemycket !!!

Svara Avbryt
Close