Visa att om A är en vinkel med 0 grader<A<90 grader så är

Behöver hjälp

Du kan i alla fall in te dividera med cos 90 grader på det sättet - man får inte dela med 0.

Säg att sin A = p (och du vet att p är ett tal mellan 0 och 1). Vad är då cos A uttryckt i p? (Tips - använd trig ettan!)

Noll kan man inget dela med. Det förstår jag. Jag tog bara var för sig  i det här fallet. 

Där har vi det. Cos 90 grader är ju noll. 

Då är det väl ett. 

Hej!

Olikheterna $0<A<90$ betyder att vinkeln $A$ får vara vad som helst mellan $0^\circ$ och $90^\circ.$ Det är alltså förbjudet för $A$ att vara $90$ grader! 

Albiki

Om vinkeln $A$ hade fått vara $90$ grader så hade olikheterna varit

    $0<A\leq 90.$

Får man själv hitta på något mellan det där, men inte ha 90 grader. 

Cos 90 = 0

sin 90 grader = 1

Kan man då sätta sin 40 grader och cos 40 grader. Det blir trig ett.,

Nej du kan inte hitta på något där i mellan. Utan du måste visa att det är sant för alla vinklar A mellan 0 och 90. Detta verkar ju dock vara taget från en matematiktävling, vilket då brukar innebära att det finns lite "trick" man kan tillämpa. Så är fallet även här, det finns en olikhet som kallas för AM-GM olikheten vilket är användbar här. I dess absolut lättaste form så säger den att för alla positiva x och y så gäller det att

$\sqrt{xy}\le \frac{x + y}{2}$

Man kan utnyttja denna olikhet för att få en "one-line" lösning på uppgiften.

Då har inte jag sysslat med detta tidigare. 

Päivi skrev :

Då har inte jag sysslat med detta tidigare. 

Nej det brukar kanske inte vara en olikhet som tas upp under studierna, det går att lösa uppgiften utan att utnyttja denna olikhet också. Men hursomhelst, steg ett är att förstå själva frågan.

Problemet är alltså att du måste visa att det gäller för alla vinklar A som ligger mellan 0 och 90, detta innebär att du inte bara kan välja ut en vinkel, exempelvis A = 40. Detta eftersom du då endast visat att det gäller för en vinkel mellan 0 och 90, så du har ju då oändligt många vinklar kvar att bevisa det för. Är du med så här långt?

Hej!

Ett alternativ till olikheten mellan aritmetiskt medelvärde (AM) och geometriskt medelvärde (GM) som Stokastisk nämner är att studera funktionen

    $\displaystyle f(x) = (1+\frac{1}{\sin x})(1+\frac{1}{\cos x})$

där $0<x<\frac{\pi}{2}$ radianer. Notera att vinkeln $x$ anges i radianer istället för grader, för att man ska kunna använda kända deriveringsregler för sinus- och cosinusfunktionerna. 

Uppgiften går då ut på att visa att funktionens minsta värde är större än talet 5. 

Albik

Ja

Det borde inte bli jättejobbigt att hitta minimum av VL med hjälp av derivata.

Jag har inte än sysslat med deriverings regler. 

Jag ligger i matte 3 c. Jag tänkte titta matte 4 så långt innan derivata kommer in. Sedan måste jag återgå till matte 3c och syssla med derivata. 

Jag har inte än lärt mig derivata. 

Då får det bli den långa lösningen med Trigonometriska ettan och långtråkiga algebraiska manipulationer. 

Hur ska jag gå till väga? 

Trig ettan kan det inte bli. Det måste vara upphöjd med två både sin och cos om det ska bli trig ettan. Tänkte inte på detta. 

Det är tråkigt om jag måste hoppa över uppgiften. 

Väntar tips. 

Har du försökt med idén jag föreslog tidigare? Du får ett ganska besvärligt uttryck i nämnaren, men det kan kanske funka (jag har inte kollat).

Säg att sin A = p (och du vet att p är ett tal mellan 0 och 1). Vad är då cos A uttryckt i p? (Tips - använd trig ettan!)

Först har jag försökt multiplicera som man lärde i tigare kurser. Att få den till gemensam nämnare var en besvärligare sak om man inte ändrar mera att ha de bokstäverna som man har där. 

Hjärnan går runt lite på mig. Jag ligger inte i matte 4 än. Jag tvingar mig väldigt att komma gång med matten. Du vet allt som har hänt. Jag försöker koncentrera i det här. Ägnar all tid för matten. Äter och sedan är det matte som gäller. 

Hej!

Utveckla produkten och gör liknämnigt.

    Error converting from LaTeX to MathML

Eftersom vinkeln $A$ ligger mellan $0$ grader och $90$ grader så är $\sin A$ och $\cos A$ båda tal som ligger mellan $0$ och $1$. Det betyder att

    $1 \cdot \sin A \geq \sin A \cos A$ och $1 \cdot \cos A \geq \sin A\cos A$;

dessutom gäller det alltid att $1 \geq \sin A \cos A$ och $\sin A\cos A \geq \sin A\cos A$.

Alla dessa olikheter gör att du kan skriva

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

Utveckla produkten.

    $\displaystyle (1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\cos A}) = 1 + \frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\cos A} + \frac{1}{\cos A \sin A}.$

Gör liknämnigt.

    $\displaystyle (1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\cos A}) = \frac{\cos A \sin A + \cos A + \sin A + 1}{\cos A \sin A}.$

Med de nämnda olikheterna kan kvoten begränsas nedåt.

    Error converting from LaTeX to MathML

Så långt har jag förstått det hela. Nu gäller det få till samma nämnare, vilket är besvärligare.,

$\displaystyle \frac{1+\cos A + \sin A + \cos A \sin A}{\cos A \sin A} \geq \frac{\cos A\sin A + \cos A\sin A + \sin A \cos A + \cos A\sin A}{\cos A \sin A} = 4.$

Jag tittar allt från telefonen. Ser inte allt vad det står. Måste titta det här från datorn, 

Olikheten $1 \geq \sin A \cos A$ är sann, men den är alltför grov. En bättre olikhet använder Sinus för Dubbla vinkeln.

    $\displaystyle (1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\cos A}) \geq \frac{1+3\sin A\cos A}{\sin A\cos A} = 3 + \frac{1}{\sin A \cos A}.$

Sinus för Dubbla vinkeln ger

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

Sinus för Dubbla vinkeln ger

    $\displaystyle \frac{1}{\sin A \cos A} = \frac{1}{0.5 \sin 2A} = 2 \cdot \frac{1}{\sin 2A}.$

Eftersom vinkeln $A$ ligger mellan $0$ grader och $90$ grader så är $\sin 2A$ ett tal mellan $0$ och $1$.

    $0 < \sin 2A < 1.$

Det medför att

    $1 < \frac{1}{\sin 2A} < \infty$

så att

    $2 < 2\cdot \frac{1}{\sin 2A}$

och det följer att

    $\displaystyle (1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\cos A}) > 3 + 2.$

Albiki

Jag får i täljaren 

3 cos (A)sin(A): cos (A)sin(A)= 4

nu vill jag ha mera förklaring till detta! 

Du har kommit fram till att det är

$\frac{1}{\cos \left(A\right)}+\frac{1}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}}+\frac{1}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}{\displaystyle \cos }{\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}}>4$

du vill visa. Notera nu att 1/cos(A) > 1, samt att 1/sin(A) > 1, detta innebär alltså att

$\frac{1}{\cos \left(A\right)}+\frac{1}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}}+\frac{1}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}{\displaystyle \cos }{\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}}>1 + 1 + \frac{2}{2\sin \left(A\right)\cos \left(A\right)}=2 + \frac{2}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 2}{\displaystyle A}{\displaystyle )}}$

Eftersom $\frac{2}{\sin \left(2A\right)}\ge 2$ så följer alltså olikheten då

$2 + \frac{2}{\sin \left(2A\right)}\ge 2 + 2 =\hspace{0.17em}4$

Var fick du tvåan dit? 

Jag förlänger bråket med 2, som du ser så dyker det även upp en två i nämnaren. Detta är för att man ska kunna utnyttja att 2sin(A)cos(A) = sin(2A) nere i nämnaren.

Päivi skrev :

 

Hej!

Du vill visa olikheten

    $\displaystyle 1+\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\cos A} + \frac{1}{\sin A\cos A} \geq 5$

och inte likheten som du skrivit

    $\displaystyle 1+\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\cos A} + \frac{1}{\sin A\cos A} = 5$.

Albiki

Vi har tre ettor i täljaren. 

Päivi skrev :

Vi har tre ettor i täljaren. 

Ja, jag vet inte om jag förstår vad du menar med det?

Hej!

När du förlänger med $\sin A\cos A$ så ska det bli

    $\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A \cos A} + \frac{\sin A}{\sin A \cos A} + \frac{1}{\sin A \cos A}$

och inte som du skrivit

    $\displaystyle \frac{\sin A \cos A}{\sin A \cos A} + \frac{\sin A \cos A}{\sin A \cos A} + \frac{\sin A \cos A}{\sin A \cos A}.$

Albiki

Det är tre bråk  och plus där mellan. Du har tre ettor i täljaren. 

Päivi skrev :

Det är tre bråk  och plus där mellan. Du har tre ettor i täljaren. 

I varje enskilt bråk så har jag en etta i täljaren, ja? Jag förstår nog inte riktigt problemet med det?

När ska jag förlänga med två och när cos A sinA?

Ja alltså det är enbart bråket $\frac{1}{\cos \left(A\right)\sin \left(A\right)}$ som jag förlänger med 2. På de två andra bråken så använder jag att

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sin \left(A\right)}>1 \\ \frac{1}{\cos {\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}}>1 \end{gathered}$$

Så detta kombinerat ger att

$\frac{1}{\sin \left(A\right)}+\frac{1}{\cos {\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}}+\frac{1}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}{\displaystyle \cos }{\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}}>1 + 1 + \frac{1}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}{\displaystyle \cos }{\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle )}}=2 + \frac{2}{2\sin \left(A\right)\cos \left(A\right)}=2+\frac{2}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle 2}{\displaystyle A}{\displaystyle )}}$

Kan ju slänga in lösningen med AM-GM olikheten också om någon är intresserad.

$\left(1 + \frac{1}{\sin \left(A\right)}\right)\left(1 + \frac{1}{\cos \left(A\right)}\right)\ge 4\sqrt{\frac{1}{\sin \left(A\right)\cos \left(A\right)}}=4\sqrt{\frac{2}{\sin \left(2A\right)}}\ge 4\sqrt{2}>5$

Min lösning:

(1+1/sinA)*(1+1/cosA) > 5 är samma sak som 1+sinA+cosA+sinAcosA > 5sinAcosA och om vi flyttar över allt till VL och använder trig.ettan får vi sin^2(A) + cos^2(A) +sinA+cosA-2sinAcosA-2sinAcosA > 0 vilket är (sinA-cosA)^2 + sinA+cosA-2sinAcosA > 0 så det återstår att visa att sinAcosA < (sinA+cosA)/2. Eftersom 0<sinAcosA <1 kan vi använda olikheten x < sqrt(x) och får sinAcosA < sqrt(sinAcosA) <= (sinA+cosA)/2 där vi använt AM-GM olikheten och nu är vi färdiga.

Annars var det väl "bara" att multiplicera ut parenteserna och använda dubbla vinkeln på produkten, så ser man att VL > 1 + 1 + 1 + 2, som Stokastisk har gjort.

Det gick mycket fortare än att härja ut derivatan som jag föreslog.