20 svar
159 visningar
Alex; är nöjd med hjälpen
Alex; 287
Postad: 23 dec 2023 11:16

Visa att P^2-1 är delbart med 24 om p är ett primtal >3.

Jag har svårt med att förstå lösningen som en mattelärare förklarar på youtube. Han skriver ”om man multiplicerar två på varandra följande jämna tal kommer produkten att innehålla 2*2*4” När jag tar två jämna tal tex 4*6 så får jag inte dessa faktorer då 4*6=2*2*2*3=2*4*3. Är det något jag har missat?

Yngve 38568 – Livehjälpare
Postad: 23 dec 2023 11:22 Redigerad: 23 dec 2023 11:25

Nej du har rött. Påståendet att faktorerna 2, 2 och 4 ingår gäller endast för jämna tal 6 och uppåt.

Jag tror att läraren egentligen menar att produkten innehåller faktorerna 2 och 4, vilket gäller redan från jämna tal 2 och uppåt.

Alex; 287
Postad: 23 dec 2023 11:28

Skulle du kunna förtydliga hur 2 på varandra följande jämna tal är delbara med 8? 

Smaragdalena Online 79420 – Lärare
Postad: 23 dec 2023 11:30

Vartannat jämnt tal finns i fyrans tabell, vartannat finns i tvåans men inte i fyrans. Om du multiplicerar två på varandra följande jämna tal, t ex 346 och 348, så vet du att produkten kommer att vara delbar med 8.

Alex; 287
Postad: 23 dec 2023 11:40 Redigerad: 23 dec 2023 11:42

Allmänt: Om ett tal a är delbart med ett annat tal b så måste a innehålla talets b primfaktorer. 

Om två på varandra följande jämna tal är delbara med 24 så måste dessa (p+1)(p-1) innehålla talets 24 primfaktorer. 

Vi kan ta två på varandra följande jämna tal tex 4*6=24 eftersom de innehåller faktorn 24. Då har jag visat att (p+1)(p-1) är delbart med 24. Varför ska man isåfall undersöka om tre på varandra följande tal är delbara med 3?

Smaragdalena Online 79420 – Lärare
Postad: 23 dec 2023 12:01

Du kan inte utgå från att något är sant och därifrån visa att något är sant, som duverkar förska göra nu. Du kan inte utgå från att två på varandra följande tal alltid är delbart med 24, det är ju detta du skall bevisa!

Om ett tal skall vara delbart med 24 så räcker det att undersöka om det är delbart med 3 och med 8. Vi väljer att undersöka just 3 och 8, eftersom dessa tal saknar gemensamma faktorer.

Vi vet att p är et primtal, och alltså inte delbart med 3. Om man tar tre heltal efter varandra så är precis ett av dem delbart med 3, så antingen (p-1) eller (p+1) är delbart med 3, och därmed även talens produkt.

Om delbarhet med 8: se mitt förra inlägg.

Alex; 287
Postad: 23 dec 2023 12:39 Redigerad: 23 dec 2023 12:43

Hur vet man att det räcker med 3 och 8? Måste talet innehålla alla faktorer i 24 för att vara delbart med 24 eller räcker det en av faktorerna?

Vill gärna förstå vad som krävs för att

(p+1)(p-1) ska vara delbart med 24 innan jag börjar undersöka delbarheten med faktiska tal på tallinjen. 

naytte Online 4092 – Moderator
Postad: 23 dec 2023 12:55

Jag har ett förslag på en lösning som jag tror är något enklare:

Lösningsförslag

Påståendet vi ska undersöka är 24|(p-1)(p+1),pp>3\displaystyle 24|(p-1)(p+1), p\in \mathbb{P}\owns p>3

Ett första konstaterande vi kan göra är att båda faktorerna kommer vara jämna, samt att det minsta värdet uttrycket kan anta är 24. Ett annat sätt att uttrycka detta på är att säga att:

(p-1)=4Q,Q\displaystyle (p-1)=4Q, Q\in \mathbb{Z} samt att (p+1)=6Z,Z\displaystyle (p+1)=6Z, Z\in \mathbb{Z}

Eftersom vi vet att Q och Z alltid kommer vara heltal kan vi säga att uttrycket kan skrivas om som: 24QZ, dvs. det kommer alltid vara delbart med 24!

Louis 3488
Postad: 23 dec 2023 13:58

(p−1)=4Q ... samt att (p+1)=6Z

naytte, ingetdera stämmer för t ex p=7.

Ena faktorn ((p+1) eller (p-1)) måste vara delbar med 4 och den andra med 2.
Ena faktorn måste vara delbar med 3. Det räcker att konstatera.

naytte Online 4092 – Moderator
Postad: 23 dec 2023 14:50 Redigerad: 23 dec 2023 14:53
Louis skrev:

(p−1)=4Q ... samt att (p+1)=6Z

naytte, ingetdera stämmer för t ex p=7.

Hoppsan, nej det har du rätt i. Vet inte riktigt vad jag tänkte med där... Jag skyller på att jag var nyvaken!

Alex; 287
Postad: 23 dec 2023 14:56

Vad krävs då för att talet ska vara delbart med 24 och hur vet man det? 
Efter det kan jag förhoppningsvis jämföra kraven med faktiska tal på tallinjen för att se om (p+1)(p-1) uppfyller kraven och så är beviset färdigt.

Smaragdalena Online 79420 – Lärare
Postad: 23 dec 2023 15:17
Alex; skrev:

Vad krävs då för att talet ska vara delbart med 24 och hur vet man det? 
Efter det kan jag förhoppningsvis jämföra kraven med faktiska tal på tallinjen för att se om (p+1)(p-1) uppfyller kraven och så är beviset färdigt.

Läs inlägg #6 och inlägg #4.

Alex; 287
Postad: 23 dec 2023 15:23
Smaragdalena skrev:
Alex; skrev:

Vad krävs då för att talet ska vara delbart med 24 och hur vet man det? 
Efter det kan jag förhoppningsvis jämföra kraven med faktiska tal på tallinjen för att se om (p+1)(p-1) uppfyller kraven och så är beviset färdigt.

Läs inlägg #6 och inlägg #4.

Varför räcker det med att talet är delbart med 3 och 8 och hur vet man att det räcker med 3 och 8?

farfarMats 1111
Postad: 23 dec 2023 16:15

För att ett tal ska vara delbart med 24 så måste det innehålla alla 24ans primfaktorer och omvänt om ett tal innehåller 24ans primfaktorer så är det delbart med 24 och de är 2,2,2,3 vilket surprise! precis är 3 och 8

Alex; 287
Postad: 23 dec 2023 18:19

Tack! Så vi ska bevisa att produkten av talet (p+1)(p-1) innehåller alla faktorer i 24. Vi vet att de är jämna och vi kan jämföra de med två på varandra följande jämna tal på tallinjen för att se deras delbarhet med 2.

P>3 så den kan minst vara 4 men eftersom 4 inte är ett primtal väljer jag 5. Då väljer jag 4 som är p-1 och 6 som p+1. 

4=2*2 och 6=2*3. Produkten av dessa två tal innehåller faktorerna 2*2*2*3=24. Vad ska jag göra sen? Har jag inte visat att (p+1)(p-1) är delbart med 24 då talet innehåller 24:s alla faktorer med den förklaringen? Tackar för eran tålamod!

Smaragdalena Online 79420 – Lärare
Postad: 23 dec 2023 19:13

Du behöver visa att talet (p-1)(p+1) är delbart med 24, d v s att produkten innehåller faktorerna 3 och 8 vlket värde på p du än väljer.

Alex; 287
Postad: 23 dec 2023 19:23
Smaragdalena skrev:

Du behöver visa att talet (p-1)(p+1) är delbart med 24, d v s att produkten innehåller faktorerna 3 och 8 vlket värde på p du än väljer.

Tackar återigen Smaragdalena! Nu förstår jag det. 

Jag ser att två på varandra följande jämna tal på tallinjen är delbara med 2 och 4 eftersom det ena innehåller faktorn 2 och det andra innehåller faktorn 4. De är också delbara med 8 eftersom de innehåller alla faktorer som finns i 8. Har jag nu visat att två på varandra följande jämna tal är delbara med 8?

Om ja så återstår det bara att visa att talet (p+1)(p-1) innehåller faktorn 3. 

farfarMats 1111
Postad: 23 dec 2023 20:50 Redigerad: 23 dec 2023 20:54

Edit:  Nej, du har väl bara visat det för fallet p=5 ?!    (jag missade ett par inlägg )

För att få till ett generellt bevis kolla in det tidigare svaret med tallinjen som visar att (p-1)(p+1) alltid innehåller faktorerna 2 och 4  och ett annat som visar att det också måste innehålla faktorn 3 nämligen på grund av att av tre på varandra följande tal alltså p-1,p,p+1 måste ett vara delbart med 3 och eftersom p förutsetts vara primtal måste det vara p-1 eller p+1 och därmed också deras produkt

Alex; 287
Postad: 23 dec 2023 21:08
matsC skrev:

Edit:  Nej, du har väl bara visat det för fallet p=5 ?!    (jag missade ett par inlägg )

För att få till ett generellt bevis kolla in det tidigare svaret med tallinjen som visar att (p-1)(p+1) alltid innehåller faktorerna 2 och 4  och ett annat som visar att det också måste innehålla faktorn 3 nämligen på grund av att av tre på varandra följande tal alltså p-1,p,p+1 måste ett vara delbart med 3 och eftersom p förutsetts vara primtal måste det vara p-1 eller p+1 och därmed också deras produkt

Menar du att man behöver rita en tallinje för att bevisa det eller räcker det med att skriva så här:

Alla jämna tal är delbara med 2 eftersom de innehåller faktorn 2, så p-1 och p+1 som är jämna tal innehåller faktorn 2 ich och är därmed delbara med 2. 

vartannat jämnt tal är delbart 4 då det innehåller faktorn 4. Eftersom p-1 och p+1 är två på varandra följande jämna tal är alltså ett av de delbart med 4. 

vart tredje tal är delbart med 3 då det innehåller faktorn 3.  Talföljden ser ut såhär: 

p-1, p, p+1 oavsett värde på p, så ett av dessa tre tal måste vara delbart med 3. Under förutsättning att p inte är det då p är ett primtal > 3. 

Räcker det med en sån förklaring eller nehöver jag rita en tallinje och ge fler exempel på delbarhet med 2 , 4 och 3 på faktiska tal? Vad tycker ni är lämpligt?

farfarMats 1111
Postad: 24 dec 2023 10:32

Ditt resonemang är faktiskt ett bevis för påståendet så varken figurer eller exempel förstärker tesen på minsta sätt. De är 'bara' till för att belysa och öka förståelsen för problemet och hitta bevisgången.

Sen en liten formuleringsmiss: Ersätt "Under förutsättning att p inte är det då p är ett primtal > 3. "   med ""Eftersom p förutsätts vara primtal måste det vara p-1 eller p+1 och därmed även deras produkt som är delbar med tre"  så blir det lite klarare.

Alex; 287
Postad: 24 dec 2023 12:54

Tack så mycket för hjälpen allihopa.

Svara Avbryt
Close