Visa att funktionen E = mv^2/2 + mgh för en partikel har dE/dt = 0

Halloj!

Jag håller på att studera en enkel partikel som rör sig i någon bana i ett tvådimensionellt koordinatsystem på jorden. Den enda kraften som verkar på partikeln i varje punkt är tyngdkraften. Vi definierar uppåt och höger som positiva riktningar. Vi definierar en (inte så godtycklig) godtycklig funktion vi kan kalla $E$ enligt:

$\displaystyle E\left(t\right) = \frac{m}{2}v\left(t\right)^2 + mgh\left(t\right)$

där $h$ betecknar höjden över någon nollnivå vi har bestämt.

Det jag nu önskar visa är att $\dot{E} = 0$. Till att börja med konstaterar vi att $v^2 = v_x^2 + v_y^2$. Vi har alltså:

$\displaystyle E = \frac{m}{2}(v_x^2+v_y^2) + mgh$

Vi har då alltså att:

$\displaystyle \frac{dE}{dt} = \frac{m}{2}(2v_x\dot{v}_x+2v_y\dot{v}_y) + mg\frac{dh}{dt}$

Eftersom vi befinner oss i jordens graviationsfält inser vi att $\dot{v}_y = -g$ och enligt antagande vet vi att $\dot{v}_x = 0$. Således får vi:

$\displaystyle \frac{dE}{dt} = -mv_yg + mgv_y=0$

Alltså har vi visat att $E$ är konstant över tid.

Är det jag har gjort här giltigt? Egentligen föreställde jag mig att man kastar t.ex. en boll eller liknande upp i luften och låter den falla i en kastparabel men det verkar väl som om detta gäller för alla banor i planet, så länge man försummar icke-konservativa krafter som friktion eller luftmotstånd?