Visa att U är ett underrum till V samt att \dim U = \infty

Halloj! Jag sitter med uppgiften nedan och skulle vilja bekräfta mitt resonemang på (a) och få lite hjälp med (b):

Jag börjar med (a). För att visa att $U$ är ett underrum till $V$ måste vi visa att:

(i) Nollelementet i $V$ ligger i $U$

(ii) Att $U$ är slutet under addition

(iii) Att $U$ är slutet under skalärmultiplikation

Att nollelementet $0_V=\{ 0 \}_{n=0}^{\infty}$ ligger i $U$ följer av definitionen av $U$ , ty $(\exists N)( \forall n\ge N): a_n = 0$ för $0_V$ .

Slutenhet under addition följer av att följderna som adderas alltid har ett ändligt antal nollskilda element, så då måste summan också ha det, och då ligger denna per definition i $U$ .

För skalärmultiplikation är resonemanget som ovan: produkten har ändligt många nollskilda element och ligger således i $U$ .

Nu till (b):

Här är jag lite mer osäker på hur jag ska förklara mitt tankesätt. Det verkar ju ytterst rimligt att $U$ måste ha oändlig dimension eftersom den uppenbara basen:

$\{ \{ 1,0,... \},\{ 0,1,0,... \},\{ 0,0,1,0,... \}... \}$

har oändligt många element.

Men jag kan ju inte svara med "proof by obviousness"...

Hur ska man motivera detta?

Ett vektorrum är ändligdimensionellt om för något heltal N det går att finna en uppsättning om N linjärt oberoende vektorer men inte någon uppsättning om N+1 linjärt oberoende vektorer. Vektorrummet är oändligdimensionellt om det inte är ändligdimensionellt.

Det är jag med på men jag tycker det är så svårt att formulera ordentligt. Känner lite som den här:

Proof by f*cking obvuiousness! : r/mathmemes

Kan man säga något i stil med:

För varje $N \in \mathbb{N}$ existerar det en vektor i $U$ med $N+1$ nollskilda element. Eftersom en ändlig uppsättning av $N$ basvektorer maximalt kan bilda en följd med $N$ nollskilda element innebär detta att ingen ändlig uppsättning basvektorer kan spänna upp $U$ , alltså måste $\dim U = \infty$ .

Det räcker med att notera att du hittat en oändlig mängd av linjärt oberoende vektorer i U. För alla N går det således att hitta en uppsättning om N+1 oberoende vektorer i U. Så U kan inte ha ändlig dimension.

Ja, det har du rätt i faktiskt!

Men skulle mitt resonemang också vara giltigt?

Det stämmer ju för din bas, men håller argumentet för varje möjlig bas? Lite osäker på hur vattentätt det blir.

Om man har bevisat, vilket man kan, att alla baser för ett vektorrum har samma antal (kardinalitet) vektorer, så räcker det förstås att notera att man hittat en bas med ett oändligt antal vektorer.

Det kan påpekas att det givna vektorrummet V har uppräknelig bas och det är en förutsättning för att de förda resonemangen ska vara tillfyllest.

naytte skrev:
Eftersom en ändlig uppsättning av $N$ basvektorer maximalt kan bilda en följd med $N$ nollskilda element [...]

Vad menar du med detta?

Ett litet random påpekande, förresten, med tanke på att du tidigare har varit intresserad av polynom:

Vektorrummet $V$ är isomorft med rummet av formella (dvs. inte nödvändigtvis konvergenta) potensserier, och $U$ är isomorft med rummet av polynom.

Jag menade att om man har en bas som består av $N$ st. vektorer så kan man ur dessa bilda en följd som maximalt har $N$ st. nollskilda element. Dvs. om basen består av 7 vektorer kan vi aldrig bilda en följd som har 8 nollskilda element, men vi kan enkelt hitta en följd med 8 sådana element i vårt rum $U$ .

Stämmer inte det? Det kanske bara stämmer för basen jag föreslog ovan men det känns väldigt logiskt.

Tillägg: 26 maj 2025 20:29

EDIT: det var extremt feltänkt av mig. Glöm det. Kom på att vi skulle kunna ha en basvektor som är typ {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...,0,....} och då kan vi ha hur många nollskilda element vi vill.

Däremot kan man kanske resonera så här:

Antag att $U$ har ändlig dimension, och att $\dim U = n$ . Antag att varje basvektor har $A_1, A_2, A_3,...,A_n$ nollskilda element. Då kan man inte bilda en följd med fler än:

$A_1+A_2+A_3+...+A_n$

nollskilda element.

Men från definitionen av $U$ kan vi hitta en vektor med $A_1+A_2+A_3+...+A_n+1$ nollskilda element, alltså kan $U$ inte ha ändlig dimension.

Alldeles utmärkt argument! ⭐️

Svara

Visa senaste svar