visa surjektivitet (Matematik/Universitet)

Vad innebär det att en funktion från en mängd till en annan mängd är surjektiv?

Dr. G skrev :
Vad innebär det att en funktion från en mängd till en annan mängd är surjektiv?

om g:s värdemängd är = R

problemet är ju att jag ser på funktionen att den är surjektiv men jag kan inte visa det.

Det räcker väl rimligen att visa att givet ett tal $y$ i värdemängden, så kan du hitta (minst) ett tal $x$ i definitionsmängden för vilket funktionen $g (x) = y$ . Du kan konstruera en metod för att hitta det talet genom att beskriva inversen till $g (x)$ . I alla enklare fall (speciellt de där hela R är både värde- och definitions-mängd) så tror jag att det faktum att funktionen har en invers betyder att den är bijektiv, dvs både injektiv och surjektiv.

Det du skriver som "om g:s värdemängd är = R" är i princip rätt känsla för vad surjektiv betyder, men fokus är på att man kan vara säker på "sure -> surjective (min personliga minnesregel)" att för varje tal $y$ i värdemängden finns minst ett tal $x$ i definitionsmängden för vilket $g (x) = y$ . Man är garanterad att g träffar varje tal i värdemängden.

Låt oss säga att det finns ett tal $y\in\mathbb{R}$ . Det betyder att om den är surjektiv så ska vi hitta ett $x\in\mathbb{R}$ sådan att $f(x)=y$ . Det är alltså samma sak som att $3x+4=y$ eller att $x=\dfrac{y}{3}-\dfrac{4}{3}$ . Alltså är funktionen surjektiv.

För injektiv kan du använda att $a,b\in\mathbb{R}$ . Det betyder att $f(a)=f(b)$ vilket är samma sak som $3a+4=3b+4\leftrightarrow 3a=3b\leftrightarrow a=b$ . Alltså är funktionen injektiv. Och det betyder att din funktion $f(x)$ är bijektiv.

Hej!

Funktionen $g : R \to R$ är surjektiv om ekvationen $y = g(x)$ har (åtminstone) en lösning ( $x$ ) för varje val av $y \in R$ ; om ekvationen $y = g(x)$ har en lösning för vissa $y \in R$ så är funktionen $g : R \to R$ inte surjektiv.

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Funktionen $g : R \to R$ är surjektiv om ekvationen $y = g(x)$ har (åtminstone) en lösning ( $x$ ) för varje val av $y \in R$ ; om ekvationen $y = g(x)$ har en lösning för vissa $y \in R$ så är funktionen $g : R \to R$ inte surjektiv.
Albiki

precis. såg något exempel i boken där dom hittar inversen och sätter sedan in den i funktionen

så hade jag gjort de på detta hade de blivit

g(y-4/3) = 3x +4

vilket ger vid insättning att g(y-4/3) = y

men jag förstår inte hur detta visar surjektivitet

Hej!

Du vill visa att för varje $y \in R$ finns det åtminstone ett $x \in R$ som löser ekvationen

$3x+4 = y\ .$

Låt $y \in R$ vara ett givet tal. Ekvationen $3x+4 = y$ har den unika lösningen $x = \frac{y-4}{3}\ ,$ vilket indikerar att funktionen $g(x) = 3x+4$ från $R$ till $R$ är surjektiv.

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Du vill visa att för varje $y \in R$ finns det åtminstone ett $x \in R$ som löser ekvationen
$3x+4 = y\ .$
Låt $y \in R$ vara ett givet tal. Ekvationen $3x+4 = y$ har den unika lösningen $x = \frac{y-4}{3}\ ,$ vilket indikerar att funktionen $g(x) = 3x+4$ från $R$ till $R$ är surjektiv.
Albiki

så du menar att en surjektiv funktion bara har en lösning? så funktioner av högre grad än 1 kan inte vara surjektiv?

Jag tror att Albiki har fel där -- jag PM:ade honom om det. Det är existens och inte unicitet som är viktigt. Jag är inte alls expert på det här, men jag tror det är ett enkelt misstag bara.

Alltså, darknen har helt rätt i övrigt. Det räcker att visa att man kan hitta (minst) ett tal i definitionsmängden för varje tal i värdemängden, och att konstruera en invers funktion är ett sätt att genom konstruktion av ett recept (inversen) visa att varje värde i värdemängden har ett tal (existens är viktigt, unicitet behövs inte, men skadar inte heller) i definitionsmängden som ger det värdet.

Hej!

Jag skrev ett kort inlägg, men trots det missar ni båda att läsa vad jag skrev:

Funktionen g är surjektiv om ekvationen y=g(x) har (åtminstone) en lösning (x) för varje val av y.

Det handlar alltså om existens av lösning och inte om entydighet (eller det fula ordet unicitet).

Albiki

PeBo skrev :
Jag tror att Albiki har fel där -- jag PM:ade honom om det. Det är existens och inte unicitet som är viktigt. Jag är inte alls expert på det här, men jag tror det är ett enkelt misstag bara.

Albiki, jag tror att det är frasen "...har den unika lösningen..." från ditt andra inlägg som är roten till förvirringen, inte det du skrev i det första inlägget. Du beskriver både att den (inversen) har en lösning och att den är unik, och förklarar att det är det som "...indikerar...att funktionen är surjektiv", men du har fetstilat biten om unik, så jag tror du kan förstå varför man får intrycket att du försöker påstå att det är unic.... unikheten som är viktig? I det första inlägget så är det biten som säger "...har en lösning för vissa..." som kunde vara tydligare genom att säga "...saknar en lösning för vissa..." eller "...bara har en lösning för vissa..." eftersom du beskriver fallen då den inte är surjektiv. Men jag tror inte darknen är hjälpt av mer ordmärkande. För övrigt tycker jag unicitet är ett vackert ord ;-)