Visa, utan att använda sinussatsen, att b sin A = a sin B

Inga egna försök?

Försök hitta en sträcka som har judt längden b*sin(A). 

vi använder cosinussatsen istället

$$\begin{gathered} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ {b}^2=a^2+c^2-2ac\cos B \\ -> \\ {a}^2=a^2 \\ {b}^2+c^2-2bc\cos A=b^2-c^2+2ac\cos B \\ 2c^2=2ac\cos B+2bc\cos A \\ \underline{c=b\cos A+a\cos B} \\ ⋮ \\ A+B+C=\mathrm{\pi } \\ \mathrm{C}=\mathrm{\pi }-(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \\ -> \\ \mathrm{cosC}=\cos [\mathrm{\pi }-(\mathrm{A}+\mathrm{B}\left)\right]=\cos [\mathrm{\pi }-\mathrm{X}] \\ \cos [\mathrm{\pi }-\mathrm{X}]=\mathrm{cos\pi cos}[-\mathrm{X}]-\mathrm{sin\pi sin}[-\mathrm{X}]=-\cos \left[\mathrm{X}\right] \\ -> \\ -\cos \left[\mathrm{X}\right]=-\cos [\mathrm{A}+\mathrm{B}]=\mathrm{sinAsinB}-\mathrm{cosAcosB} \\ -> \\ \underline{\mathrm{cosC}=\mathrm{sinAsinB}-\mathrm{cosAcosB}} \\ ⋮ \\ {\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{abcosC} \\ {[\mathrm{bcosA}+\mathrm{acosB}]}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{ab}[\mathrm{sinAsinB}-\mathrm{cosAcosB}] \\ {\mathrm{b}}^2{\cos }^2\mathrm{A}+2\mathrm{abcosAcosB}+{\mathrm{a}}^2{\cos }^2\mathrm{B}= \\ {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+2\mathrm{abcosAcosB}-2\mathrm{absinAsinB} \\ {\mathrm{b}}^2{\cos }^2\mathrm{A}+{\mathrm{a}}^2{\cos }^2\mathrm{B}={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{absinAsinB} \\ {\mathrm{b}}^2[1-{\sin }^2\mathrm{A}]+{\mathrm{a}}^2[1-{\sin }^2\mathrm{B}]={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{absinAsinB} \\ -{\mathrm{b}}^2{\sin }^2\mathrm{A}-{\mathrm{a}}^2{\sin }^2\mathrm{B}=-2\mathrm{absinAsinB} \\ 0={\mathrm{b}}^2{\sin }^2\mathrm{A}-2\mathrm{absinAsinB}+{\mathrm{a}}^2{\sin }^2\mathrm{B} \\ 0={[\mathrm{bsinA}-\mathrm{asinB}]}^2 \\ -> \\ \mathrm{bsinA}-\mathrm{asinB}=0 \\ \mathrm{bsinA}=\mathrm{asinB} \\ \square \end{gathered}$$

Dra ut sträckan AB
Rita höjden från C till förlängningen av AB. Kalla höjden för h

Vi kan skriva 2 uttryck för h:
(1)     sin (A) =h/b      ->   h=b*sin(A)     samt
(2)     sin(180-B)=h/a   ->   h=a*sin(180-B)         vi vet att sin(B)=sin(180-B)  vilket ger h=a*sin(B)

b*sin(A) = a*sin(B)

Q.E.D