4 svar
77 visningar
MariaEC 4
Postad: 4 mar 14:58 Redigerad: 4 mar 17:29

Ytintegral av kon

Frågan lyder:

"Beräkna ytintegralen YzxdSdär ytan Y ges av z=(x2+y2,y-x, xy,0x2+y21"

Y är då en rotationssymmetrisk kon och jag kan använda parametriseringen 

x=r cos θy=r sin θz=r

 

Det är dock här jag börjar fastna, vet inte hur jag ska göra med dubbelintegraler över en yta och gränserna förvirrar mig..

Tänkte att jag kunde behandla som vanlig dubbelintegral: parametrisera och multiplicera med funktionalsdeterminanten. Men vet inte hur jag ska hantera gränserna och vet inte hur determinanten ska se ut. 

 

Kan man gå tillväga såhär? Hur sätter jag i så fall gränserna och hur ställer jag i så fall upp funtionaldeterminanten? Jag kan se att olikheten x2+y2 motsvarar enhetscirkeln men de andra förstår jag inte. Determinanten har tre element där uppe och två där nere, hur gör man då?

 

Lägger till skärmbild av frågan med

MariaEC 4
Postad: 4 mar 19:29

Jag hittade en youtubevideo som visade ett liknande problem, jag har fått fram svaret -1/2 men osäker på om det verkligen är rätt. 

I din videon används formeln för att beräkna ytintegralen:

S f(x,y,z) dS =  Df(x,y,g(x,y) 1 + zx2+ zx2 dA

jag följde videon och räknade med den och fick då ett svar.

Dock när dem i videon gjorde variabelbytet multiplicerades den nya funktionen med r dr dθ istället för funktionsdeterminanten*dr dθ.

Detta förvirrar mig då jag alltid använt determinanten vid variabelbyte. Bifogar bild på min uträkning, vid det röda frågetecknet sker det jag inte förstår.

jamolettin 221
Postad: 4 mar 23:01

Jag tror du blandar ihop parametrisering med variabelbyte. Du har redan parametriserat ytan som r=(x, y, sqrt(x²+y²). Du har sedan beräknat normen av ytnormalen, ||n|| = sqrt(2), helt i sin ordning. Ditt ytelement blir då, dS = ||n||dxdy 

Du får alltså en "vanlig" dubbelintegral i xy-planet utan något z (z ersätts av din tidigare parametrisering). Du kan nu välja att byta koordinater till polära koordinater för att lösa dubbelintegralen. Då kommer dxdy bli r*drdt (där r är funktionaldeterminanten)

Det är alltså olika saker att parametrisera en yta, jämfört med att byta koordinater.

MariaEC 4
Postad: 4 mar 23:54

Svaret jag fick fram i min kommentar var rätt så uppgiften är löst.

Jag är fortfarande inte helt med på varför/hur r blir funktionsdeterminant. När kan man använda det sambandet och när måste man räkna ut den? 

D4NIEL 2619
Postad: 5 mar 00:47 Redigerad: 5 mar 01:18

Som jamolettin påpekar är vi egentligen intresserade av är hur längden av normalen NN skalas in.

Den parameterframställning du valt är

r(r,θ)=rcos(θ),rsin(θ),r\mathbf{r}(r,\theta)=\left(r\cos(\theta), r\sin(\theta), r\right)

I din kurslitteratur finns det kanske en formel för normalen som ser ut ungefär så här:

N=rr'r×rθ'θ\displaystyle \mathbf{N}=\frac{\partial \mathbf{r}^\prime_r}{\partial r}\times \frac{\partial \mathbf{r}^\prime_\theta}{\partial \theta}

Beräknar man kryssprodukten får man

N=-rcos(θ),-rsin(θ),r\mathbf{N}=\left(-r \cos(\theta), -r \sin(\theta), r\right)

Om du sätter f=zf=z ser du att

|N|=1+|N|=\sqrt{1+}

|N|drdθ=2rdrdθ|N|\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\sqrt{2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta

Detta kan man nu sätta in direkt i integralen.

r=01θ=3π45π4rcosθr2rdrdθ=-12\displaystyle \int_{r=0}^1 \int_{\theta=\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} r\cos\left(\theta\right)r\,\sqrt{2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=-\frac{1}{2}

Man kan också gå "omvägen" genom att först parametrisera i x och y och sedan byta till polära koordinater. Vilket som är enklast beror på om du redan kan vissa koordinatsystem utantill och inte behöver beräkna kryssprodukter eller andra faktorer som problemets geometriska egenskaper.

När man använder x och y samt z=f(x,y) som parameterframställning kan man använda formeln

N=(-fx',-fy',1)N=(-f^\prime_x, -f^\prime_y,1) som normal.

Sätter du f=zf=z ser du att du får samma normal som i dina räkningar

|N|=1+(zx')2+(zy')2|N|=\sqrt{1+(z^\prime_x)^2+(z^\prime_y)^2}


Tillägg: 5 mar 2024 13:44

Här blev det många fel; bland annat ska det vara

N=rr'×rθ'=rr×rθ\mathbf{N}=\mathbf{r}^\prime_r\times\mathbf{r}^\prime_\theta=\frac{\partial \mathbf{r} }{\partial r}\times\frac{\partial \mathbf{r} }{\partial \theta}

Men jag hoppas tanken framgår ändå.

Svara Avbryt
Close