13 svar
3170 visningar
lillaoski är nöjd med hjälpen
lillaoski 75
Postad: 29 nov 2018 11:56

Antiderivatan / Primitiv funktion

 

Hej!

 

Jag tror jag förstår grundkonceptet kring primitiva funktioner och antiderivatan, men jag har lite svårt att tolka vad uppgiften frågar efter.

Och sen är det lite oklart vad reglerna är runt att "antiderivera" när talet är t.ex x3 eftersom derivatan av det är 3x2. Då blir det ju liksom en "vanlig" derivata.

Bubo 2974
Postad: 29 nov 2018 12:24 Redigerad: 29 nov 2018 12:32

Antiderivata är inte ett helt korrekt ord, men det är praktiskt och beskriver precis vad en primitiv funktion är: motsatsen till derivatan.

Derivatan av VadDå blir x^3? Det har du redan löst, och fått korrekt svar (x^4 )/4+ C, där C kan vara precis vilken konstant som helst. Derivatan av en konstant är ju noll.

Värdet av den här funktionen för x=1 blir 1^4+C, och om det ska bli 1 så måste C vara lika med noll. Det ser du också ut att ha löst, även om du inte skriver ut tankegången tydligt.

Besvarar detta de frågor du hade?

EDIT Korrigerade, delar nu med 4

Jonto 5468 – Moderator
Postad: 29 nov 2018 12:28 Redigerad: 29 nov 2018 12:42

När du tar fram en primitiv funktion som du har gjort det så har du tagit fram en primitv funktion som mycket riktigt är x44 då den uppfyller villkoret att när jag deriverar den så blir den x3. Alltså F´(x)=f(x)  som ska gälla.

Jag skulle dock hävda (och det är så ;)) att det finns fler förslag på primitiva funktioner till x3 exempelvis dessa

x44+8   , x44-2, x44+965   

Nästan samma fast med olika konstanter. Dessa uppfyller också samma villkor eftersom när vi deriverar en konstant blir den alltid 0.

Det är därför du lägger till "+C " när du tar fram en primitiv funktion, som jag också ser att du skrivit först

Uppgiften har dock gett dig lite extra information om funktionen nämligen att F(1)=1 som gör att du kan ta reda på konstanten. Uttrycket F(1)=1 betyder att för x-värdet 1 i den primitiva funktionen blir funktionsvärdet(y) lika med 1. Sätter du in dessa villkor i din primitiva funktion så är endast C obekant och går att bestämma. Som föregående talare skrev så kan det vara så att du gjort detta utan att visa det, men det kan också bara vara så att du råkade få fram rätt funktion för att konstanten var lika med noll. Oavsett så hade du behövt redovisa denna uträkning/resonemang.

Hänger du med?

Jonto 5468 – Moderator
Postad: 29 nov 2018 12:38 Redigerad: 29 nov 2018 12:49

Reglerna för primitiva funktioner är kravet att när du deriverar den primitiva funktionen så skall du få tillbaka den ursprungliga funktionen. Därav kan man alltid genom detta kontrollera om man fått fram rätt primitiv funktion.

 

Här är hur jag brukar tänka, "derivera baklänges)

ex. bestäm primitiv funktion till x5

1) När jag deriverar en potensfunktion så brukar jag minska exponenten med 1, det betyder att innan den ska deriveras måste expontenten vara 1 högre, alltså för en primitiv funktion måste jag istället höja expontenten med 1 alltså x6

2) Är jag klar nu? Om jag testar och derivera x6 och ser om jag får tillbaka det jag ska nämligen x5 då. Hmm om jag deriverar x6 så blir det ju enligt driveringsreglerna 6x5. Det liknar ju det jag skulle komma fram till men är 6 gånger för stort. Jag märker då att jag måste "kompensera" genom att dividera med 6, på samma sätt som man måste kompensera genom att multiplicera när man deriverar. Alltså borde en av de primitiva funktionerna till x5 vara x66.

När man löst sådant ett tag inser man snabbt  att reglerna för primitiva funktionerna till potensfunktioner lyder F(xn)=xn+1n+1+C     motsatt mot derivata som är D(xn)=(n-1) xn-1 

Men ett tips är att det aldrig är fel att försöka tänka baklänges klura och fixa till och kompensera för problem som uppstår. Om du hittat en primitv funktion och det gäller att derivatan av den blir din urpsrungliga funktion så har du hittat rätt alltså F´(x)=f(x) F(x) är en primitiv funktion till f´(x).

 

För egen träning kan det vara intressant att försöka ta fram primitiva funktioner till andra funktioner som du redan känner till derivatorna till. 

Om du kan hur man deriverar 

ex,e3x, sin(x), sin(4x), cos(x), cos(x2) exempelvisHur kan man då utan formler ta fram primitiva funktioner till dessa?

lillaoski 75
Postad: 1 dec 2018 12:37
Bubo skrev:

Antiderivata är inte ett helt korrekt ord, men det är praktiskt och beskriver precis vad en primitiv funktion är: motsatsen till derivatan.

Derivatan av VadDå blir x^3? Det har du redan löst, och fått korrekt svar (x^4 )/4+ C, där C kan vara precis vilken konstant som helst. Derivatan av en konstant är ju noll.

Värdet av den här funktionen för x=1 blir 1^4+C, och om det ska bli 1 så måste C vara lika med noll. Det ser du också ut att ha löst, även om du inte skriver ut tankegången tydligt.

Besvarar detta de frågor du hade?

EDIT Korrigerade, delar nu med 4

Jag får fram  F(1) =  14+C. Menar du att C är 0? Varför?

tomast80 Online 3568
Postad: 1 dec 2018 13:00 Redigerad: 1 dec 2018 13:00
Jonto skrev:

Reglerna för primitiva funktioner är kravet att när du deriverar den primitiva funktionen så skall du få tillbaka den ursprungliga funktionen. Därav kan man alltid genom detta kontrollera om man fått fram rätt primitiv funktion.

 

Här är hur jag brukar tänka, "derivera baklänges)

ex. bestäm primitiv funktion till x5

1) När jag deriverar en potensfunktion så brukar jag minska exponenten med 1, det betyder att innan den ska deriveras måste expontenten vara 1 högre, alltså för en primitiv funktion måste jag istället höja expontenten med 1 alltså x6

2) Är jag klar nu? Om jag testar och derivera x6 och ser om jag får tillbaka det jag ska nämligen x5 då. Hmm om jag deriverar x6 så blir det ju enligt driveringsreglerna 6x5. Det liknar ju det jag skulle komma fram till men är 6 gånger för stort. Jag märker då att jag måste "kompensera" genom att dividera med 6, på samma sätt som man måste kompensera genom att multiplicera när man deriverar. Alltså borde en av de primitiva funktionerna till x5 vara x66.

När man löst sådant ett tag inser man snabbt  att reglerna för primitiva funktionerna till potensfunktioner lyder F(xn)=xn+1n+1+C     motsatt mot derivata som är D(xn)=(n-1) xn-1 

Men ett tips är att det aldrig är fel att försöka tänka baklänges klura och fixa till och kompensera för problem som uppstår. Om du hittat en primitv funktion och det gäller att derivatan av den blir din urpsrungliga funktion så har du hittat rätt alltså F´(x)=f(x) F(x) är en primitiv funktion till f´(x).

 

För egen träning kan det vara intressant att försöka ta fram primitiva funktioner till andra funktioner som du redan känner till derivatorna till. 

Om du kan hur man deriverar 

ex,e3x, sin(x), sin(4x), cos(x), cos(x2) exempelvisHur kan man då utan formler ta fram primitiva funktioner till dessa?

 Det stämmer inte att: D(xn)=(n-1)xn-1D(x^n)=(n-1)x^{n-1} utan följande gäller:

D(xn)=ddxxn=nxn-1D(x^n)=\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

tomast80 Online 3568
Postad: 1 dec 2018 13:04

C0C\ne 0, följande ekvation gäller för att bestämma CC:

F(1)=144+C=1F(1)=\frac{1^4}{4}+C=1

Jonto 5468 – Moderator
Postad: 1 dec 2018 13:36

(Ah, tomast80, vilken miss, det var inte så bra. Tyvärr går inte att redigera nu i efterhand så bra att du Skrev en kommentar om det)

lillaoski 75
Postad: 3 dec 2018 12:47
tomast80 skrev:

C0C\ne 0, följande ekvation gäller för att bestämma CC:

F(1)=144+C=1F(1)=\frac{1^4}{4}+C=1

Så man kan säga att rätt svar är:

 F(1)=14+34 = 1

 

Där C är 3/4.

Smaragdalena 57317 – Lärare
Postad: 3 dec 2018 13:12

Nej, det är inte rätt svar (men du är nära). Läs igenom frågan en gång till, och se till att du svarar på rätt sak.

lillaoski skrev:
tomast80 skrev:

C0C\ne 0, följande ekvation gäller för att bestämma CC:

F(1)=144+C=1F(1)=\frac{1^4}{4}+C=1

Så man kan säga att rätt svar är:

 F(1)=14+34 = 1

 

Där C är 3/4.

Som tidigare har nämnts så har f(x)=x3f(x)=x^3 oändligt många primitiva funktioner. Dessa kan skrivas F(x)=x44+CF(x)=\frac{x^4}{4}+C, där varje möjligt värde på konstanten CC ger en specifik primitiv funktion.

Din uppgift är att ta reda på vilken av alla dessa primitiva funktioner som uppfyller villkoret F(1)=1F(1)=1

Du har korrekt bestämt det värde på CC som gör att villkoret uppfylls, nu saknas bara att beskriva just den primitiva funktionen.

lillaoski 75
Postad: 4 dec 2018 11:30
Yngve skrev:
lillaoski skrev:
tomast80 skrev:

C0C\ne 0, följande ekvation gäller för att bestämma CC:

F(1)=144+C=1F(1)=\frac{1^4}{4}+C=1

Så man kan säga att rätt svar är:

 F(1)=14+34 = 1

 

Där C är 3/4.

Som tidigare har nämnts så har f(x)=x3f(x)=x^3 oändligt många primitiva funktioner. Dessa kan skrivas F(x)=x44+CF(x)=\frac{x^4}{4}+C, där varje möjligt värde på konstanten CC ger en specifik primitiv funktion.

Din uppgift är att ta reda på vilken av alla dessa primitiva funktioner som uppfyller villkoret F(1)=1F(1)=1

Du har korrekt bestämt det värde på CC som gör att villkoret uppfylls, nu saknas bara att beskriva just den primitiva funktionen.

 

Laguna 15072
Postad: 4 dec 2018 11:39

Jag ser inget x. Det är inte mycket till funktion. 

Yngve 22178 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 4 dec 2018 12:06 Redigerad: 4 dec 2018 12:08

Att F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)f(x) innebär att F'(x)=f(x)F'(x) = f(x).

Din primitiva funktion F(x)F(x) ska alltså vara ett uttryck som beror av xx och som är sådant att dess derivata är lika med x3x^3, dvs F'(x)=x3F'(x)=x^3.

Exempel:

  • F(x)=x2+4F(x)=x^2+4 är en primitiv funktion till f(x)=2xf(x)=2x eftersom derivatan av x2+4x^2+4 är lika med 2x2x.
  • F(x)=3x-21F(x)=3x-21 är en primitiv funktion till f(x)=3f(x)=3 eftersom derivatan av 3x-213x-21 är lika med 33.

Ditt förslag till primitiv funktion har inte den egenskapen att dess derivata är lika med x3x^3.

Svara Avbryt
Close