Bestäm a och b

b = -2 verkar rätt, men inte a = -1.

$\frac{x^2-x}{x-2}$ = (polynomdivision) = $x+1+\frac{2}{x-2}$, så i detta fall blir asymptoten y = x + 1 och inte y = x - 1.

Tillägg: 21 feb 2022 20:13

Men hur visste du att det var-2? Hängde inte helt med :)

Att b = -2 beror på att vi skall ha en vertikal asymptot då x = 2 - precis som du säger i din lösning.

Förlåt, skrev fel. Jag menade b= -2, varför blir b så?

offan123 skrev:

Förlåt, skrev fel. Jag menade b= -2, varför blir b så?

Se #4.

Skrev fel igen, menade vad blir a?

Den räta linje som i figuren kan vi bestämma till 

$y=x-1$, håller du med om det?

Och det är denna linje som vår funktion närmar sig till när x är jättestor.

Med matematiska

$\displaystyle \frac{x^2+ax}{x-2}≈x-1$ då x går mot $\infty$.

Förenklar vi VL: $\frac{x+a}{1}≈x-1$ 

ger oss att $a=-1$.

Det finns nog andra sätt också.

Soderstrom skrev:

Den räta linje som i figuren kan vi bestämma till 

$y=x-1$, håller du med om det?

Och det är denna linje som vår funktion närmar sig till när x är jättestor.

Med matematiska

$\displaystyle \frac{x^2+ax}{x-2}≈x-1$ då x går mot $\infty$.

Förenklar vi VL: $\frac{x+a}{1}≈x-1$ 

ger oss att $a=-1$.

Det finns nog andra sätt också.

Som jag visade tidigare så är det fel. Om vi väljer a = -1 så får vi y = x + 1 som asymptot. Titta på wolfram alpha plotten tidigare. Men vi vill att asymptoten skall vara y = x - 1.

Använd tex polynomdivision i stället.

Ett annat sätt är att bestämma a så att

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\frac{x^2+ax}{x-2}-x\right]=-1$.

Ahhh, sorry, ja, polynomdivision är det som gäller. Vet dock inte varifrån jag lärde mig det där "sättet" ^_^

I det här fallet är det nog naturligast att använda PATENTERAMERAS sista förslag.

Vi har två aktuella formler
$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$den behöver vi kanske inte, men den går att tillämpa. Vi ser ju i figuren att k = 1.

$m=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\right(x)-kx)$Det är från denna formel PATENTERAMERA har utgått. Även värdet för m kan vi ta ur figuren.

Angående Söderströms förslag så kan vi ana att han är på väg åt det hållet, men hoppar över en hel del moment och kommer fel. Mycket lätt hänt om man tar lite för lätt på uppgiften är min egen erfarenhet. Mitt råd som jag hoppas att jag själv lyssnar på nu, är att skriv ner vad du gör som att du förklarar inför en hel skolklass då försvinner massor av slarvfel och små misstag. För egen del har jag märkt att på lite svårare uppgifter spar jag en hel del tid på det trots att det känns som att man först förlorar tid.

Angående Söderströms förslag så kan vi ana att han är på väg åt det hållet, men hoppar över en hel del moment och kommer fel. Mycket lätt hänt om man tar lite för lätt på uppgiften är min egen erfarenhet. Mitt råd som jag hoppas att jag själv lyssnar på nu, är att skriv ner vad du gör som att du förklarar inför en hel skolklass då försvinner massor av slarvfel och små misstag. För egen del har jag märkt att på lite svårare uppgifter spar jag en hel del tid på det trots att det känns som att man först förlorar tid.

Det här är ett jättebra råd! Man tjänar i det långa loppet på att bara ta ett steg i taget och att skriva ner vad man gör. Om man tar stora steg så blir det rätt kanske 4 gånger av 5, men man vet ju inte vilken gång det blir fel...

Jag håller med helt och fullt.

Dessutom är det i stort sett omöjligt att i efterskott kontrollera sina egna uträkningar om de har tagit för stora kliv.

Det blir då lätt bara "Undrar hur jag kom från detta till detta? ... Äh, det är säkert rätt".

Vi kan se på vad som går fel med Söderströms argumentation.

Vi har förenklat fram till att

f(x) = $\frac{x+a}{1-2/x}$, sedan gör Söderholm antagandet att vi kan sätta nämnaren till 1. Låt oss vara lite nogrannare.

Vi vet (geometisk serie) att $\frac{1}{1-\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}$ = 1 + 2/x + (2/x)² + .... Vi utnyttjar detta.

f(x) = (x+a)(1+2/x+O(1/x²)) = x + 2 + a + O(1/x), vilket implicerar att asymptoten är y = x + a + 2. Vi vill att asymptoten skall vara y = x - 1. Såldes måste vi ha att a = -3.

Således ser vi att sätta nämnaren till 1 är ekvivalent att approximera 1/(1-2/x) med 1, vilket är för grovt, vi missar viktiga bidrag.

Tack så mycket ConnyN och PATENTERAMERA för era bidrag. Jag utgick från att man kan approximera $f(x)$ till $x+a$ när $x$ är stort. Men ja, det är en grov approximation ser jag nu :)

Åter igen TACK :D

Tack

Eller förstod inte helt hur det blev minus 3. Hur kan man tänka steg för steg?

Du kan använda polynomdivision.

$\frac{x^2+ax}{x-2}$ = (polynomdivision) = $x+a+2$ + $\frac{2\left(a+2\right)}{x-2}$.

Det betyder att asymptoten blir y = x + a + 2 då x går mot positiva (eller negativa) oändligheten.

Vi vill att asymptoten skall vara y = x - 1. Således måste a + 2 = -1, så att a = -3.

Men öva även på att använda förslaget i #12.

Jag har inte fått lära mig polynomdivision. Finns det nått annat sätt att få fram det där svaret?

Titta på #12.

Jag tar ju lim x->oändligheten  men får 1 

offan123 skrev:

Jag tar ju lim x->oändligheten  men får 1 

Du gör precis rätt för att räkna ut k och det stämmer ju med bilden också.
Använd nu formeln för m. Lös $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+ax}{x+b}-x$

När du gjort det kan du använda att du vet att m = -1 och lösa ut a.

Blir det här

Du missar lite.

$\frac{x^2+ax}{x+b}-\frac{x\left(x+b\right)}{x+b}$ = $\frac{\left(a-b\right)x}{x+b}$ $\to$ $a-b$ då x $\to \pm \infty$.

Enligt tidigare så hade vi att b = -2, eftersom vi skall ha vertikal asymptot då x = 2. Vi vill att m skall vara -1. Således:

$a+2=-1$, vilket ger, som vi noterat tidigare, att a = -3.

Tack, nu fattar jag :))

👍