27 svar
307 visningar
jordgubbe är nöjd med hjälpen
jordgubbe 245
Postad: 2 sep 2022 13:06

Bestäm uttryck vinklar

Vet inte hur man ska lösa denna uppgift, vet bara att triangel ABC är likbent och har två gemensamma vinklar.  

jag är osäker men kan man tänka att <A=<F med hjälp av rabdvinkelsatsen. Men det kanske inte går att tänka så eftersom <F är utanför cirkeln?

Macilaci 2107
Postad: 2 sep 2022 15:36

Linjen AA1 hjälper mycket (där A1 är cirkelns mittpunkt).

Du kan beräkna vinklarna vid C, A, A1, D och sedan F.

jordgubbe 245
Postad: 2 sep 2022 21:46
Macilaci skrev:

Linjen AA1 hjälper mycket (där A1 är cirkelns mittpunkt).

Du kan beräkna vinklarna vid C, A, A1, D och sedan F.

Varför har du flyttat punkt D? Och hur ska jag räkna ut vinklarna C , A och A1?

Davitk 140 – Livehjälpare
Postad: 2 sep 2022 22:16

Du ska bevisa att <DCA=<CBA=<BCA

Macilaci 2107
Postad: 3 sep 2022 09:18
Davitk skrev:

Du ska bevisa att <DCA=<CBA=<BCA

Jag tror inte att det stämmer.

Macilaci 2107
Postad: 3 sep 2022 09:31 Redigerad: 3 sep 2022 09:44

Jag ber om ursäkt. Det var förvirrande att punkt D och E var inte med i bilden och att jag nänmde en annan punkt D. 
Här är den korrigerade bilden: (Nu gäller det att beräkna vinklarna vid C, A, A1, A2 och sedan F)

Du kan börja t.ex. så här:

1) Om <ACD = v, då är <A1CA = 90-v (för <A1CD är rätvinkel, för DE är en tangent)

2) <A1AC = A1CA = 90-v (för AA1C är likbent)

3) <A1AB = <A1AC = 90-v (det är kanske svårast att inse, men tänk på symmetrin)

...osv

Davitk 140 – Livehjälpare
Postad: 3 sep 2022 10:38
Macilaci skrev:
Davitk skrev:

Du ska bevisa att <DCA=<CBA=<BCA

Jag tror inte att det stämmer.

Att <DCA=<CBA är grundläggande faktum. I din bild <AA_1C=2<ABC och <ACA_1=(180-<AA_1)/2 Vi också vet att <A_1CD=90. Vi kan härleda att <DCA=<CBA. Dessutom är AC=AB så <CBA=<ACB 

naytte 4221 – Moderator
Postad: 3 sep 2022 10:51

Hur många variabler får uttrycket innehålla? Jag tänker att man kan uttnyttja att ABC är likbent och att v är en yttervinkel till AFC.

Om vi kallar basvinklarna i ABC för x blir CAB 180-2x

Av det följer att AFC+(180-2x)=v.

Jag kanske tänker konstigt men det verkar som de andra svaren är väldigt komplicerade.


Tillägg: 3 sep 2022 10:54

Oj, vad dum jag är. Man får nog inte introducera sina egna variabler. 

Ursäkta!

Macilaci 2107
Postad: 3 sep 2022 10:56
Davitk skrev:
Macilaci skrev:
Davitk skrev:

Du ska bevisa att <DCA=<CBA=<BCA

Jag tror inte att det stämmer.

Att <DCA=<CBA är grundläggande faktum. I din bild <AA_1C=2<ABC och <ACA_1=(180-<AA_1)/2 Vi också vet att <A_1CD=90. Vi kan härleda att <DCA=<CBA. Dessutom är AC=AB så <CBA=<ACB 

Ja, du har rätt. Det stämmer. Jag hade fel.

Macilaci 2107
Postad: 3 sep 2022 11:01
naytte skrev:

Hur många variabler får uttrycket innehålla? Jag tänker att man kan uttnyttja att ABC är likbent och att v är en yttervinkel till AFC.

Om vi kallar basvinklarna i ABC för x blir CAB 180-2x

Av det följer att AFC+(180-2x)=v.

Jag kanske tänker konstigt men det verkar som de andra svaren är väldigt komplicerade.


Tillägg: 3 sep 2022 10:54

Oj, vad dum jag är. Man får nog inte introducera sina egna variabler. 

Ursäkta!

Men du har rätt. Du behöver bara ta hänsyn till vad Davitk skrev: x = ν

Louis 3509
Postad: 3 sep 2022 13:51

Förslag till sammanfattning:
<ACA1 = <CAA1 = 90 - v             (likbenthet)
<CAB = 2(90-v)                              (symmetri)
<AFD = v - 2(90-v) = 3v - 180    (yttervinkelsatsen på triangel ACF)

naytte 4221 – Moderator
Postad: 3 sep 2022 17:45

Men hur kommer det sig att vi bara kan anta att linjen som går genom A1 faktiskt också skär C?

Macilaci 2107
Postad: 3 sep 2022 17:56 Redigerad: 3 sep 2022 17:56

Det var jag som ritade in linjen så att den går genom A1 och C. (Så det gör det per definition).

Den är vinkelrät till tangenten DE.

naytte 4221 – Moderator
Postad: 3 sep 2022 18:09
Macilaci skrev:

Det var jag som ritade in linjen så att den går genom A1 och C. (Så det gör det per definition).

Den är vinkelrät till tangenten DE.

Ja men hur vet du att cirkelns mittpunkt ligger rakt över punkt C?

Louis 3509
Postad: 3 sep 2022 18:34

Om tangenten är horisontell (parallell med x-axeln, figuren är ritad så) är linjen genom cirkelns medelpunkt och tangeringspunkten vertikal. Eftersom linjerna bildar rät vinkel. Alltså är medelpunkten i figuren belägen "rakt över" tangeringspunkten. Men det väsentliga är bara den räta vinkeln som vi använder för att föra in beteckningen v i trianglarna. 

naytte 4221 – Moderator
Postad: 3 sep 2022 18:38

Jag hänger inte med på hur det gör att man kan anta att C och A1 har "samma x-koordinat". Man kan ju bilda en rät vinkel med en rak linje överallt i figuren. 

Louis 3509
Postad: 3 sep 2022 18:49

Som jag skrev är det inte väsentligt med "samma x-koordinat". Inget annat ändras om figuren skulle vridas lite.
Macilaci har dragit två hjälplinjer i figuren, båda genom cirkelns medelpunkt, en genom A och en genom C. 
Hjälplinjer bestämmer man själv var man drar, och man drar dem smart så att de är till hjälp vid lösningen av uppgiften.
Macilacis linjer bildar en rät vinkel, skapar en ny likbent triangel och delar vinkeln vid A i två lika delar,
allt på sätt som enkelt leder till lösningen.

naytte 4221 – Moderator
Postad: 3 sep 2022 18:50

Det jag inte förstår är hur det faktum att linjerna bildar en rät vinkel gör att medelpunkten är belägen direkt över tangeringspunkten.

Louis 3509
Postad: 3 sep 2022 18:56 Redigerad: 3 sep 2022 18:56

Men du är med på att de bildar en rät vinkel?
Det är det enda man fortsättningsvis använder sig av.
I övrigt kan jag nog inte förklara bättre än med det jag skrev om horisontellt och vertikalt.
Vertikalitet innebär definitionsmässigt att punkterna är belägna rakt över varandra.

naytte 4221 – Moderator
Postad: 3 sep 2022 19:08 Redigerad: 3 sep 2022 19:09
Louis skrev:

Men du är med på att de bildar en rät vinkel?
Det är det enda man fortsättningsvis använder sig av.
I övrigt kan jag nog inte förklara bättre än med det jag skrev om horisontellt och vertikalt.
Vertikalitet innebär definitionsmässigt att punkterna är belägna rakt över varandra.

Ja, men det spelar väl jättestor roll om A1och C ligger på samma linje eller inte? Hur ska man börja benämna fler vinklar än

<ACA1om man inte kan anta att sträcka AA1= sträcka A1C?

Louis 3509
Postad: 3 sep 2022 19:17 Redigerad: 3 sep 2022 19:19

Eftersom båda sträckorna är radier är de lika.
Det var därför Macilaci valde att dra en hjälplinje genom A1 och C (och en genom A och A1),
så att en rät vinkel och en ny likbent triangel skapades.

Vrider man figuren lite slipper man tänka på "rakt över" om det är till besvär.

Macilaci 2107
Postad: 3 sep 2022 19:37 Redigerad: 3 sep 2022 19:38

Tangenten och radien till tangeringspunkten bildar alltid en rät vinkel.

naytte 4221 – Moderator
Postad: 3 sep 2022 21:23 Redigerad: 3 sep 2022 21:23

Herre gud, ursäkta min dumhet!

Det är ju självklart att en linje som skär en tangeringspunkt också kommer skära mittpunkten, tangeringspunkten är ju alltid belägen på samma linje som mittpunkten!

Macilaci 2107
Postad: 3 sep 2022 23:00 Redigerad: 3 sep 2022 23:00

Det är ju självklart att en linje som skär en tangeringspunkt också kommer skära mittpunkten, tangeringspunkten är ju alltid belägen på samma linje som mittpunkten!

Den här meningen låter lite konstig. Två punkter ligger alltid på samma linje (dvs två olika punkter bestämmer en rät linje).

jordgubbe 245
Postad: 4 sep 2022 00:02
Louis skrev:

Förslag till sammanfattning:
<ACA1 = <CAA1 = 90 - v             (likbenthet)
<CAB = 2(90-v)                              (symmetri)
<AFD = v - 2(90-v) = 3v - 180    (yttervinkelsatsen på triangel ACF)

Menar du med symmetri att <CAB=2(90-v) eftersom det delas i en bisektris? Det jag undrar är hur man kan veta att <CAB delas in i lika stora delar, är det för att det är radien som gör det? 

Louis 3509
Postad: 4 sep 2022 07:25 Redigerad: 4 sep 2022 07:51

Jag vet inte vilket som är enklaste sättet att bevisa det.
Det var Macilaci som skrev "tänk på symmetrin".
Om man från A drar olika sekanter på var sin sida om diametern genom A,
är sekantens längd (inom cirkeln) en funktion av vinkeln med diametern. Och omvänt.
Är längderna lika är också vinklarna lika.

jordgubbe 245
Postad: 4 sep 2022 12:58
Louis skrev:

Jag vet inte vilket som är enklaste sättet att bevisa det.
Det var Macilaci som skrev "tänk på symmetrin".
Om man från A drar olika sekanter på var sin sida om diametern genom A,
är sekantens längd (inom cirkeln) en funktion av vinkeln med diametern. Och omvänt.
Är längderna lika är också vinklarna lika.

Okej, men jag har en fråga till

Kan man se att <ACD=<ACB utan att behöva rita nya andra linjer som A1 osv. Eller måste man rita egna linjer för att veta att <ACD=<ACB

Louis 3509
Postad: 4 sep 2022 19:03

Jag använde mig inte av den likheten.
Basvinklarna i triangel ABC är (180-2(90-v))/2 = v.
Men det använder linjen A A2.
Jag har inte försökt komma på något annat sätt.

Svara Avbryt
Close