Bevisa

Kalla sidlängden av kvadraterna för s. Vilka sidlängder har då de trianglar som alfa och beta ingår i? :)

Jag förstår inte riktigt. 

I a) får jag att vinkeln alfa +beta blir 45grader.

Dvs deras trianglar bildar en halv kvadrat. 

Det är rätt, men hur fick du fram det?

Man kan ju säga isf att jag har satt s som benämning på sidorna i kvadraten.

alfa = tan-1 (1s/2s)

Beta = tan-1 (1s/3s)

Alfa plus beta = 45

Tan 45 =1

Vad ska jag göra sen? 

Slog du det bara på en räknare?  Det är ok.
Nu skall du beräkna det exakt.

Titta i din formelsamling så hittar du kanske:

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \left(\alpha \right)+\tan \left(\beta \right)}{1-\tan \left(\alpha \right)·\tan \left(\beta \right)}$

Du har allt i HL och du får  $\tan (\alpha +\beta )=1$

Säg till om du inte har det i din formelsamling. Det finns kanske något annat sätt att få fram det (förutom att härleda identiteten).

Hur får du fram att alfa+beta = 45 grader? 

joculator skrev:

Slog du det bara på en räknare?  Det är ok.
Nu skall du beräkna det exakt.

Titta i din formelsamling så hittar du kanske:

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \left(\alpha \right)+\tan \left(\beta \right)}{1-\tan \left(\alpha \right)·\tan \left(\beta \right)}$

Du har allt i HL och du får  $\tan (\alpha +\beta )=1$

Säg till om du inte har det i din formelsamling. Det finns kanske något annat sätt att få fram det (förutom att härleda identiteten).

Jag har tyvärr ingen formel samling. Och det borde jag nog köpa.

Men jag förstår inte det som står i HL

Jag ska ta bild på facit, när jag kommer hem

Alternativt kan man använda summaformeln för sin(a+b), om man först räknar ut hypotenusorna mha pytagoras

Snyggt.

Jag förstår fortfarande inte hur jag ska bevisa att alfa + beta blir 45grader

Figuren i facit visar en rätvinklig triangel där kateterna är lika långa. Då är vinklarna 90,45,45.  Dvs a+b=45

Eller är din fråga om man måste visa att triangeln är rätvinklig? Det är ganska självklart att den är det, men det skadar inte att visa det.

M4t3m4t1k skrev:

Snygg lösning!

Den här triangeln har två katetrar som är hypotenusan i en triangel med katetrarna 1 och 2, och en hypotenusa som är hypotenusan i en triangel med kateterna 1 och 3. Använd Pythagoras sats för att räkna ut längderna på de sträckorna, och använd Pythagoras en gång till för att verifiera att den stora triangeln är rätvinklig.

Jag förstår att vinklarna blir 90,45,45.

En liksidig triangel är en halv kvadrat.

Jag får ställa om frågan lite.

Hur skulle ni komma fram till lösningen som facit skriver? Med bild. 

M4t3m4t1k skrev:

Jag förstår att vinklarna blir 90,45,45.

En liksidig triangel är en halv kvadrat.

 

 

Jag får ställa om frågan lite.

Hur skulle ni komma fram till lösningen som facit skriver? Med bild. 

Det är genialiskt att komma på att man skall spegla ner vinkeln $\Beta$ från x-axeln, och sedan sätta dit den tredje linjen som gör det till en triangel. Jag tror inte jag skulle kunna komma på det själv om jag inte hade sett det tidigare.

Tack.

Jag tror att jag har förstått hur jag ska bevisa då.

Annars hör jag av mig igen 🙂

M4t3m4t1k skrev:

Jag förstår att vinklarna blir 90,45,45.

En liksidig triangel är en halv kvadrat.

Nja det där blev väl inte riktigt rätt? En liksidig triangel har tre vinklar som är 60 grader.

En likbent triangel är en halv kvadrat om summan av kvadraterna på två sidor är lika med kvadraten på den tredje sidan.
Beräknar vi sidornas längd med hjälp av pythagoras sats och anger sidan på en kvadrat till 1 l.e. så får vi två sidor som är 
$\sqrt{5 }$långa och en som är $\sqrt{10}$och då kan vi använda ovanstående regel för att bevisa att den har en rät vinkel.

Smaragdalena skrev:

M4t3m4t1k skrev:

Snygg lösning!

Den här triangeln har två katetrar som är hypotenusan i en triangel med katetrarna 1 och 2, och en hypotenusa som är hypotenusan i en triangel med kateterna 1 och 3. Använd Pythagoras sats för att räkna ut längderna på de sträckorna, och använd Pythagoras en gång till för att verifiera att den stora triangeln är rätvinklig.

Visst är det snyggt!

Men man kan inte använda Pythagoras sats för att verifiera att den stora triangeln är rätvinklig.
Till det behöver man omvändningen till Pythagoras sats. Ingår den i kursen?

Ett alternativ kan vara att lägga in hela rektangeln i ett koordinatsystem (med axlarna längs basen och vänster sida) och konstatera att produkten av k-värdena för kateterna är -1 .  Eller blir det ett cirkelresonemang?

Lyckligtvis gäller även omvändningen till Pythagoras sats, dvs
om sidorna i en triangel är a, b och c och  a² + b² = c² ,  så är vinkeln C  rät.

Jag måste tänka på allt ni skrivit. Återkommer senare 🙂