Definitionsmängden och målmängden

Låt oss börja med att definiera $f : ℝ \to$ $[$ $- 2, \infty [$ enligt $f (x) =$ − $\frac{1}{3}$ $\sin (πx) - 1$ , och $g : ℝ \to ℝ$ enligt $g (x)$ = $\frac{7 x}{4}$ . I den här inlämningsuppgiften ska vi studera den sammansatta funktionen $h$ av $f$ och $g$ , vilken uppfyller $h (x) = f (g (x))$ för alla $x$ i dess definitionsmängd.

a) Ge uttrycket för $h (x)$ .

Svar: $h (x) = - \frac{1}{3} \sin (\frac{7 πx}{4}) - 1 .$

b) Beräkna h(3), h(4) och h(5). Ditt svar ska inte innehålla någon sinus- eller cosinusfunktion och ska inte vara på decimalform.

Svar: $h (3) = \frac{\sqrt{2}}{6} - 1$ , $h (4) = - 1$ och $h (5) = - \frac{\sqrt{2}}{6} - 1$ .

c) Skriv ut definitionsmängden och målmängden för $h$ .

Svar: Funktionen $g$ anger definitionsmängden och funktionen $f$ anger målmängden, dvs $h (x)$ har en definitionsmängd $ℝ$ och målmängd [-2,∞[ eftersom

$h (x) = f (g (x)) g : ℝ \to ℝ f : ℝ \to [- 2, \infty [, s å h : ℝ \to [- 2, \infty [$

d) Bestäm värdemängden för $h$ .

e) Är $h$ en injektiv funktion? Om ja, ge ett bevis; om nej, ge ett motexempel.

f) Är $h$ en surjektiv funktion? Om ja, ge ett bevis; om nej, ge ett motexempel.

Jag behöver hjälp att hitta svaren till d, e, f.

Tack på förhand!

d) h(x) innehåller en sinusfunktion. Vilka värden kan den anta?

e) är h(x) periodisk?

f) se d)

Dr. G skrev:
d) h(x) innehåller en sinusfunktion. Vilka värden kan den anta?

e) är h(x) periodisk?

f) se d)

d) Sinus har värden $[- 1, 1]$ . De värden $h$ kan antagna är alla tal av formen $\sin (\frac{7 πx}{4})$ , där kan vi stoppa in vilket reellt tal $x$ som helts eftersom definitionsmängden är hela $ℝ$ . Så t.ex om vi testar $- 3 \leq x \leq 5$ får vi

$h (- 3) = - \frac{\sqrt{2}}{6} - 1 h (- 2) = - \frac{4}{3} h (- 1) = - \frac{\sqrt{2}}{6} - 1 h (0) = - 1 h (1) = \frac{\sqrt{2}}{6} - 1 h (2) = - \frac{2}{3} h (3) = \frac{\sqrt{2}}{6} - 1 h (4) = - 1 h (5) = - \frac{\sqrt{2}}{6} - 1$

När jag testar olika värde till $x$ får jag lika som -3≤x≤5 .

Utifrån detta mönster kan vi kan se att värdemängden är $\{- \frac{4}{3}, - \frac{\sqrt{2}}{6} - 1, \frac{\sqrt{2}}{6} - 1, - \frac{2}{3}, - 1\} .$ Detta pga periodiciteten.

e) Funktion $h$ är inte injektiv eftersom $- 3 \neq - 1 \neq 5$ men $h (- 3) = h (- 1) = h (5) .$ På likande sätt $1 \neq 3$ men $h (1) = h (3)$ och $0 \neq 4$ men $h (0) = h (4) .$

f) Nej, Funktion $h$ är inte surjektiv eftersom den bara antar fem olika värden och målmängden är [−2,∞[.

Kan jag veta mina svar är rätt?

Ja, det verkar rätt, men jag har inte beräknat värdena. Den är varken injektiv eller surjektiv.

Ska definitionsmängden vara naturliga tal?

Dr. G skrev:
Ja, det verkar rätt, men jag har inte beräknat värdena. Den är varken injektiv eller surjektiv.

Ska definitionsmängden vara naturliga tal?

Jag fick feedback följande:

Din värdemängd i (d) stämmer inte riktigt; värdemängden ska bli ett intervall. Vad är det största och minsta värde h kan ta? Tips: vad är värdemängden för sinus? Titta en extra gång på (f) när du reviderat (d)!

Kan någon hjälpa mig ?

Hej!

Du har bara skrivit upp ett ändligt antal element som värdemängden, men argumentet till $h$ behöver ju inte vara ett heltal. Vad händer för exempelvis $h\left(\frac{1}{2}\right)$ ?

För att bestämma värdemängden så kan du använda att $h$ är en kontinuerlig funktion, så om du kan hitta största och minsta värde för $h$ så gäller att värdemängden är mängden av alla tal mellan dessa (och även inkluderat ändpunkterna).

Moffen skrev:
Hej!

Du har bara skrivit upp ett ändligt antal element som värdemängden, men argumentet till $h$ behöver ju inte vara ett heltal. Vad händer för exempelvis $h\left(\frac{1}{2}\right)$ ?

För att bestämma värdemängden så kan du använda att $h$ är en kontinuerlig funktion, så om du kan hitta största och minsta värde för $h$ så gäller att värdemängden är mängden av alla tal mellan dessa (och även inkluderat ändpunkterna).

Jag har beräknat h(1/2) och h(3/4), kan se mönstret eftersom sinus varierar mellan bara -1 och 1. Då värdemängden är $- \frac{4}{3} \leq h (x) \leq \frac{- 2}{3}$ . Stämmer det?

Shiya skrev:
Moffen skrev:
Hej!

Du har bara skrivit upp ett ändligt antal element som värdemängden, men argumentet till $h$ behöver ju inte vara ett heltal. Vad händer för exempelvis $h\left(\frac{1}{2}\right)$ ?

För att bestämma värdemängden så kan du använda att $h$ är en kontinuerlig funktion, så om du kan hitta största och minsta värde för $h$ så gäller att värdemängden är mängden av alla tal mellan dessa (och även inkluderat ändpunkterna).

Jag har beräknat h(1/2) och h(3/4), kan se mönstret eftersom sinus varierar mellan bara -1 och 1. Då värdemängden är $- \frac{4}{3} \leq h (x) \leq \frac{- 2}{3}$ . Stämmer det?

Ja, det ser bättre ut.

Moffen skrev:
Shiya skrev:
Moffen skrev:
Hej!

Du har bara skrivit upp ett ändligt antal element som värdemängden, men argumentet till $h$ behöver ju inte vara ett heltal. Vad händer för exempelvis $h\left(\frac{1}{2}\right)$ ?

För att bestämma värdemängden så kan du använda att $h$ är en kontinuerlig funktion, så om du kan hitta största och minsta värde för $h$ så gäller att värdemängden är mängden av alla tal mellan dessa (och även inkluderat ändpunkterna).

Jag har beräknat h(1/2) och h(3/4), kan se mönstret eftersom sinus varierar mellan bara -1 och 1. Då värdemängden är $- \frac{4}{3} \leq h (x) \leq \frac{- 2}{3}$ . Stämmer det?

Ja, det ser bättre ut.

Tack ! :)

Svara Avbryt

Visa senaste svar