15 svar
154 visningar
Mahiya99 är nöjd med hjälpen!
Mahiya99 438
Postad: 14 maj 2020

Differentialekvationen fråga

bestäm y' till differentialekvationen 4y''+48y' = - 144y

 

Såhär gjorde jag 

woozah 1465
Postad: 14 maj 2020 Redigerad: 14 maj 2020

Är det fel? Det går knappt att läsa det du skriver, kom du fram till att y=Ce-3xy=Ce^{-3x} var lösningen? Rimligtvis bör du ha kommit fram till att y=Ce-6xy=Ce^{-6x} var en lösning.

 

Dessvärre är inte y=Ce-6xy=Ce^{-6x} vad man kallar en fundamental lösning. (Wronskianen är okomplett) och således måste du göra en variation av parametrar. Det går egentligen ut på att du antar att C=C(x)C=C(x), och till slut kommer du komma fram till att den fundamentala lösningen ges av inte bara y=C1e-6xy=C_1e^{-6x} utan även C2xe-6xC_2xe^{-6x}, således ges den fundamentala lösningen av y=C1e-6x+C2xe-6xy=C_1e^{-6x}+C_2xe^{-6x}.

Mahiya99 438
Postad: 14 maj 2020 Redigerad: 14 maj 2020

Jag kom fram till det du skrev nyss om C1 och C2.. Så du menar att lösningen är y = C1*e^-6x +C2*e^-6x. Men vi vet ej vad C1 och C2 är här 

woozah 1465
Postad: 14 maj 2020
Mahiya99 skrev:

Jag kom fram till det du skrev nyss om C1 och C2.. Så du menar att lösningen är y = C1*e^-6x +C2*e^-6x. Men vi vet ej vad C1 och C2 är här 

Man kräver att en lösning till denna typen av diff.ekvationer har en fundamental (och unik) lösning. Jag skrev däremot fel, du behöver inte göra en variation of parameters här. Men lösningen y=Ce-6xy=Ce^{-6x} är inte en fundamental lösning till din diff.ekvation. Vad man gör då är att man ansätter att lösningen istället ges av y=C(x)e-6xy=C(x)e^{-6x} (man bara tänker att konstanten C egentligen är en funktion av xx) och sedan hittar y''y'' och y'y' och sätter in i diff.ekvationen.

 

Till slut när du gjort allt detta kommer du se att konstanten egentligen är en funktion av xx, nämligen en funktion som uppfyller C''(x)=0C''(x)=0, och därmed får du att C(x)=Ax+bC(x)=Ax+b, din fundamentala lösning ges alltså av y=(Ax+b)e-6xy=(Ax+b)e^{-6x}, eller bara y=Axe-6x+be-6xy=Axe^{-6x}+be^{-6x}.

 

Notera att det är ett xx i ena men inte i andra.

 

Ärligt talat vet jag inte om det är meningen att du ska kunna detta i gymnasiet, även fast det är Ma5, så det kanske helt enkelt är meningen att du ska säga y=Ce-6xy=Ce^{-6x}.

Mahiya99 438
Postad: 14 maj 2020 Redigerad: 14 maj 2020

Ok jag är lite förvirrad här. Men om vi deriverar y = Aex^-6x+be^-6x så får vi y' =-6Ae^-6x-6be^-6x

och andra derivatan y''= 36Ae^-6x+36be^6x. Sedan sätter vi in dem i vår ursprungsfunktion va?  Och till slut kommer visaa saker ta ut varandra så vi har termer för lösa ut y'? 

Jroth 1153
Postad: 14 maj 2020

I din formelsamling står det förmodligen  något om tre olika fall beroende på hur rötterna till den karaktäristiska ekvationen ser ut. De tre fallen är

  • Rötterna r1r_1 och r2r_2 är reella och olika
  • Rötterna r1=r2=r0r_1=r_2=r_0 är reella och lika
  • Rötterna är komplexa på formen rn=α±iβr_n=\alpha\pm i\beta

I fallet med en reell dubbelrot ror_o är lösningarna

y=er0x(C+Dx)y=e^{r_0x}(C+Dx)

Mahiya99 438
Postad: 14 maj 2020 Redigerad: 14 maj 2020

Ja men vi har aldrig gått igenom såna formler. Dock fick jag att 6 är en dubbel rot

Det blir väl y = e^6x (C+Dx) men vi vet ej vad C respektive D är. 

Jroth 1153
Postad: 14 maj 2020 Redigerad: 14 maj 2020

Du fick en negativ dubbelrot, r0=-6r_0=-6

Alltså är y(x)=e-6x(C+Dx)=Ce-6x+Dxe-6xy(x)=e^{-6x}(C+Dx)=Ce^{-6x}+Dxe^{-6x}

Deriverar vi y(x) får vi:

y'(x)=-6Ce-6x+De-6x-6Dxe-6xy'(x)=-6 C e^{-6 x} + D e^{-6 x} - 6 D xe^{-6 x}

 

Vill man bestämma konstanterna måste man använda ytterligare information, kanske är värden för y(0)y(0) eller y'(0)y'(0) givet. Annars får man tills vidare acceptera att de allmänna lösningarna ges av två okända konstanter.

Mahiya99 438
Postad: 14 maj 2020 Redigerad: 14 maj 2020
Jroth skrev:

Du fick en negativ dubbelrot, r0=-6r_0=-6

Alltså är y(x)=e-6x(C+Dx)=Ce-6x+Dxe-6xy(x)=e^{-6x}(C+Dx)=Ce^{-6x}+Dxe^{-6x}

Deriverar vi y(x) får vi:

y'(x)=-6Ce-6x+De-6x-6Dxe-6xy'(x)=-6 C e^{-6 x} + D e^{-6 x} - 6 D xe^{-6 x}

Jag tror du skrev fel där. Det ska vara y'(x) = - 6Ce^-6x-6De^x. Nej inget annat är givet i uppgiften än att bestämma y' till differentialekvationen. Så man får svara att y' ges av två okända kontanter ned allmänna lösningar 

Jroth 1153
Postad: 14 maj 2020

Nej, derivatan med avseende på x är

y'(x)=-6Ce-6x+De-6x-6Dxe-6xy'(x)=-6Ce^{-6x}+De^{-6x}-6Dxe^{-6x}

Mahiya99 438
Postad: 14 maj 2020
Jroth skrev:

Nej, derivatan med avseende på x är

y'(x)=-6Ce-6x+De-6x-6Dxe-6xy'(x)=-6Ce^{-6x}+De^{-6x}-6Dxe^{-6x}

Jag hänger inte med hur du fick den deriveringen

Jroth 1153
Postad: 14 maj 2020 Redigerad: 14 maj 2020

Derivatan av en produkt:

Funktionen Dxe-6xDxe^{-6x} består av f(x)=Dxf(x)=Dx och g(x)=e-6xg(x)=e^{-6x}

Derivatan blir då

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=De-6x+(-6Dxe-6x)f^{'}(x)g(x)+f(x)g^{'}(x)=De^{-6x}+(-6Dxe^{-6x})

Är du med på det?

Mahiya99 438
Postad: 14 maj 2020 Redigerad: 14 maj 2020

Jaha du använde derivatan av en produkt? Ok. Jag får dock att deriveran av just Dxe^-6x blir 0*xe^-6x+D*(-6)*xe^-6x

Mahiya99 438
Postad: 14 maj 2020

Juste nu förstår jag 

Jroth 1153
Postad: 14 maj 2020 Redigerad: 14 maj 2020

Hur får du 0?

Om du valde att dela upp funktionen i f(x)=Df(x)=D och g(x)=xe-6xg(x)=xe^{-6x} så har du kvar problemet.

Derivatan av xe-6xxe^{-6x} är e-6x-6xe-6xe^{-6x}-6xe^{-6x}

Mahiya99 438
Postad: 14 maj 2020 Redigerad: 14 maj 2020
Jroth skrev:

Hur får du 0?

Om du valde att dela upp funktionen i f(x)=Df(x)=D och g(x)=xe-6xg(x)=xe^{-6x} så har du kvar problemet.

Derivatan av xe-6xxe^{-6x} är e-6x-6xe-6xe^{-6x}-6xe^{-6x}

Nu när jag tänker efter så var min uppdelning fel, så det korrekta är hur du uppdelade. Tack! 

Svara Avbryt
Close