16 svar
107 visningar
strawtown är nöjd med hjälpen!
strawtown 29
Postad: 27 aug 2018

Härledning av formel

"Härled en formel för cos3v uttryckt i cosv"

(cosv+isinv)3=  cos3v+isin3v=  cos3v+i3cos2v×sinv-3cosv×sin2v-isin3v

vilket tillslut blir: cos3v=4cos3v+3cos2v×isinv

Hur får jag bort den imaginära delen? Vad gör jag för fel?

Albiki 3970
Postad: 27 aug 2018

Hej!

Binomialsatsen ger 

    (cosv+isinv)3=(cos3v-3sin2vcosv)+i(3cos2vsinv-sin3v).(\cos v + i\sin v)^3 = (\cos^3v -3\sin^2v\cos v)+i(3\cos^2 v\sin v-\sin^3v).

En jämförelse med cos3v+isin3v\cos 3v + i\sin 3v ger att

    cos3v=cos3v-3sin2vcosv.\cos 3v = \cos^3 v - 3\sin^2 v \cos v.

strawtown 29
Postad: 27 aug 2018

 tyvärr ingen aning vad Binomialsatsen är. Borde gå att lösa på annat sätt? I uppgift a) skulle man använda trigonometriska ettan. Hittar dock inget som jag kan sätta in istället för sinv

Dr. G 4432
Postad: 27 aug 2018 Redigerad: 27 aug 2018

Du kan strunta i binomialsatsen och multiplicera ut parenteserna på "vanligt" sätt:

(cos3v+isin3v)3=(cos3v+isin3v)(cos3v+isin3v)2(\cos 3v+i\sin 3v)^3 = (\cos 3v+i\sin 3v)(\cos 3v+i\sin 3v)^2

För kvadraten kan du om du vill använda en kvadreringsregel.

Albiki 3970
Postad: 27 aug 2018 Redigerad: 27 aug 2018

Om du inte har någon aning om vad Kvadreringsregeln är så kan du strunta i den också och multiplicera ihop de tre parenteserna direkt.

(cosv+isinv)·(cosv+isinv)·(cosv+isinv)=(\cos v+i\sin v)\cdot(\cos v+i\sin v)\cdot(\cos v+i\sin v) =

=(cosv+isinv)(cosvcosv+icosvsinv+icosvsinv-sinvsinv)==(\cos v+i\sin v)(\cos v\cos v + i\cos v\sin v + i\cos v\sin v - \sin v\sin v)=

=cosvcosvcosv+icosvcosvsinv+icosvcosvsinv-cosvsinvsinv+isinvcosvcosv-sinvcosvsinv-sinvcosvsinv-isinvsinvsinv.=\cos v\cos v\cos v + i\cos v\cos v\sin v+i\cos v\cos v\sin v-\cos v\sin v\sin v + i\sin v\cos v\cos v -\sin v\cos v\sin v-\sin v\cos v\sin v -i\sin v\sin v\sin v.

Här har jag tagit mig friheten att använda kunskapen att i2=-1i^2 = -1

tomast80 2376
Postad: 27 aug 2018

Alternativt (utan komplexa tal) använder man additionsformeln i kombination med dubbla vinkeln:

cos3v=cos(2v+v)=cos2vcosv-sin2vsinv=...

strawtown 29
Postad: 28 aug 2018

 så här blir min uträkning:

cosv+isinv2cosv+isinv=cos2v+2isinvcosv-sin2vcosv+isinv=cos3v+isinvcos2v+2isinvcos2v-2sin2vcosv-sin2vcosv-isin3v=cos3v+3isinvcos2v-3sin2vcosv-isin3v

sen så blir det så här, eller?

cos3v+isin3v=cos3v+3isinvcos2v-3sin2vcosv-isin3v

cos3v=cos3v+3isinvcos2v-3sin2vcosvcos3v=cos3v+3isinvcos2v-3cosv(1-cos2v)cos3v=4cos3v+3isinvcos2v

 

Hur går jag vidare, ska få bort isinv , eller gör jag helt fel?

Smaragdalena 26603 – Moderator
Postad: 28 aug 2018 Redigerad: 28 aug 2018

cos(3v) + i sin(3v) = cos3(v)+3isin(v)cos2(v)-3sin2(v)cos(v)-isin3(v)

Realdelen av HL ger uttrycket för cos(3v), imaginärdelen av HL ger uttrycket för sin(3v). 

EDIT: Flyttade på en felplacerad trea

strawtown 29
Postad: 28 aug 2018

 hmm förstår ej, gör jag fel? facit säger cos3v=4cos3v-3cosv

Smaragdalena 26603 – Moderator
Postad: 28 aug 2018 Redigerad: 28 aug 2018
Smaragdalena skrev:

cos(3v) + i sin(3v) = cos3(v)+3isin(v)cos2(v)-3sin2(v)cos(v)-isin3(v)

Realdelen av HL ger uttrycket för cos(3v), imaginärdelen av HL ger uttrycket för sin(3v). 

 Ta realdelen av HL. Skriv om sin2(v)\sin^2(v) på samma sätt som du gjorde tidigare, så får du uttrycket från facit.

strawtown 29
Postad: 28 aug 2018 Redigerad: 28 aug 2018
Smaragdalena skrev:
Smaragdalena skrev:

cos(3v) + i sin(3v) = cos3(v)+3isin(v)cos2(v)-3sin2(v)cos(v)-isin3(v)

Realdelen av HL ger uttrycket för cos(3v), imaginärdelen av HL ger uttrycket för sin(3v). 

 Ta realdelen av HL. Skriv om sin2(v)\sin^2(v) på samma sätt som du gjorde tidigare, så får du uttrycket från facit.

Jag  har ju kvar 3isinvcos2v fortfarande? Sorry om jag ej fattar men försöker, får ej till det....

kan väl inte bara stryka isinv, ska det blir negativt också?

Vad är realdelen av talet z = a+bi?

strawtown 29
Postad: 28 aug 2018
Smaragdalena skrev:

Vad är realdelen av talet z = a+bi?

 a är realdelen

Och om z = cos^3(v) -3sin^2(v)cos(v) + (3sin(v)cos^2(v)-sin^3(v)i, vad är då realdelen av z?

strawtown 29
Postad: 28 aug 2018

såhär då?

cos3v=cos3v-3sin2vcosvcos3v=cos3v-3cosv (1-cos2v)cos3v=4cos3v-3cosv

Exakt så.

strawtown 29
Postad: 28 aug 2018

 tack så mycket för hjälpen! uppskattas väldigt mycket!

Svara Avbryt
Close