Härledning av formel

Hej!

Binomialsatsen ger 

    $(\cos v + i\sin v)^3 = (\cos^3v -3\sin^2v\cos v)+i(3\cos^2 v\sin v-\sin^3v).$

En jämförelse med $\cos 3v + i\sin 3v$ ger att

    $\cos 3v = \cos^3 v - 3\sin^2 v \cos v.$

 tyvärr ingen aning vad Binomialsatsen är. Borde gå att lösa på annat sätt? I uppgift a) skulle man använda trigonometriska ettan. Hittar dock inget som jag kan sätta in istället för sinv

Du kan strunta i binomialsatsen och multiplicera ut parenteserna på "vanligt" sätt:

$(\cos 3v+i\sin 3v)^3 = (\cos 3v+i\sin 3v)(\cos 3v+i\sin 3v)^2$

För kvadraten kan du om du vill använda en kvadreringsregel.

Om du inte har någon aning om vad Kvadreringsregeln är så kan du strunta i den också och multiplicera ihop de tre parenteserna direkt.

$(\cos v+i\sin v)\cdot(\cos v+i\sin v)\cdot(\cos v+i\sin v) =$

$=(\cos v+i\sin v)(\cos v\cos v + i\cos v\sin v + i\cos v\sin v - \sin v\sin v)=$

$=\cos v\cos v\cos v + i\cos v\cos v\sin v+i\cos v\cos v\sin v-\cos v\sin v\sin v + i\sin v\cos v\cos v -\sin v\cos v\sin v-\sin v\cos v\sin v -i\sin v\sin v\sin v.$

Här har jag tagit mig friheten att använda kunskapen att $i^2 = -1$. 

Alternativt (utan komplexa tal) använder man additionsformeln i kombination med dubbla vinkeln:

$\cos 3v=\cos (2v+v)=\cos 2v\cos v-\sin 2v\sin v=...$

 så här blir min uträkning:

$$\begin{gathered} {\left(\cos v+i\sin v\right)}^2\left(\cos v+i\sin v\right)=\left({\cos }^{2}v+2i\sin v\cos v-{\sin }^{2}v\right)\left(\cos v+i\sin v\right) \\ ={\cos }^{3}v+i\sin v{\cos }^{2}v+2i\sin v{\cos }^{2}v-2{\sin }^{2}v\cos v-{\sin }^{2}v\cos v-i{\sin }^{3}v= \\ {\cos }^{3}v+3i\sin v{\cos }^{2}v-3{\sin }^{2}v\cos v-i{\sin }^{3}v \end{gathered}$$

sen så blir det så här, eller?

$\cos 3v+i\sin 3v={\cos }^{3}v+3i\sin v{\cos }^{2}v-3{\sin }^{2}v\cos v-i{\sin }^{3}v$

$$\begin{gathered} \cos 3v={\cos }^{3}v+3i\sin v{\cos }^{2}v-3{\sin }^{2}v\cos v \\ \cos 3v={\cos }^{3}v+3i\sin v{\cos }^{2}v-3\cos v(1-{\cos }^{2}v) \\ \cos 3v=4{\cos }^{3}v+3i\sin v{\cos }^{2}v \end{gathered}$$

Hur går jag vidare, ska få bort isinv , eller gör jag helt fel?

$\cos \left(3v\right) + i \sin \left(3v\right) = {\cos }^3\left(v\right)+3i\sin \left(v\right){\cos }^2\left(v\right)-3{\sin }^2\left(v\right)\cos \left(v\right)-i{\sin }^3\left(v\right)$

Realdelen av HL ger uttrycket för cos(3v), imaginärdelen av HL ger uttrycket för sin(3v). 

EDIT: Flyttade på en felplacerad trea

 hmm förstår ej, gör jag fel? facit säger $\cos 3v=4{\cos }^{3}v-3\cos v$

Smaragdalena skrev:

$\cos \left(3v\right) + i \sin \left(3v\right) = {\cos }^3\left(v\right)+3i\sin \left(v\right){\cos }^2\left(v\right)-3{\sin }^2\left(v\right)\cos \left(v\right)-i{\sin }^3\left(v\right)$

Realdelen av HL ger uttrycket för cos(3v), imaginärdelen av HL ger uttrycket för sin(3v). 

 Ta realdelen av HL. Skriv om $\sin^2(v)$ på samma sätt som du gjorde tidigare, så får du uttrycket från facit.

Smaragdalena skrev:

Smaragdalena skrev:

$\cos \left(3v\right) + i \sin \left(3v\right) = {\cos }^3\left(v\right)+3i\sin \left(v\right){\cos }^2\left(v\right)-3{\sin }^2\left(v\right)\cos \left(v\right)-i{\sin }^3\left(v\right)$

Realdelen av HL ger uttrycket för cos(3v), imaginärdelen av HL ger uttrycket för sin(3v). 

 Ta realdelen av HL. Skriv om $\sin^2(v)$ på samma sätt som du gjorde tidigare, så får du uttrycket från facit.

Jag  har ju kvar 3isinvcos${}^2$v fortfarande? Sorry om jag ej fattar men försöker, får ej till det....

kan väl inte bara stryka isinv, ska det blir negativt också?

Vad är realdelen av talet z = a+bi?

Smaragdalena skrev:

Vad är realdelen av talet z = a+bi?

 a är realdelen

Och om z = cos^3(v) -3sin^2(v)cos(v) + (3sin(v)cos^2(v)-sin^3(v)i, vad är då realdelen av z?

såhär då?

$$\begin{gathered} \cos 3v={\cos }^{3}v-3{\sin }^{2}v\cos v \\ \cos 3v={\cos }^{3}v-3\cos v (1-{\cos }^{2}v) \\ \cos 3v=4{\cos }^{3}v-3\cos v \end{gathered}$$

Exakt så.

 tack så mycket för hjälpen! uppskattas väldigt mycket!