Hitta ansats för en partikulärlösning

När du har summan av flera funktioner så kan du lösa

$y''+2y'+y=sin(x)$

och

$y''+2y'+y=e^x$

var för sig och sedan lägga ihop lösningarna till en.

Tack! 

Jag förstår dock inte riktigt principen, varför kan man göra så?

Hur kan y''+2y'+y = sin(x)   men samtidigt   = e^x

Maals skrev:

Tack! 

Jag förstår dock inte riktigt principen, varför kan man göra så?

Hur kan y''+2y'+y = sin(x)   men samtidigt   = e^x

Ja alltså, det bara är så kan man säga. Man säger att den generella lösningen till en icke-homogen linjär differentialekvation av andra ordningen $y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$ kan skrivas på formen $y=y_c+Y$. I detta fal är $y_c$ din lösning till den homogena ekvationen och $Y$ är en specifik lösning till den icke-homogena. (Man säger att $y_c=c_1y_1+c_2y_2$ utgör en ''fundamental lösning för den homogena ekvationen'').

Tänk dig lite så här: Hur löser du $y''+y'+y=x^2$? Jo, först löser du den homogena (när den är =0 ) och sedan specifikt för $x^2$. Varför kan du bara summera dessa två för att vara en lösning? Det är samma anledning till varför du kan dela upp denna, i princip.