1 svar
56 visningar
naytte är nöjd med hjälpen
naytte 3722 – Tillträdande Moderator
Postad: 27 mar 21:49 Redigerad: 27 mar 21:51

Infinitesimaler - bevis för produktregeln utan derivatans definition

God kväll!

Jag sitter och försöker luska fram ett bevis för produktregeln med infinitesimaler, men jag vill inte använda något likt derivatans definition, även om det hade fungerat. Jag har ett bevis för kedjeregeln i mitt system med infinitesimaler. Jag har en realdelsfunktion i mitt system och definierar derivatan utifrån denna:

dydx:=ReΔyΔx=Rey(x+α)-y(x)α\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}:=\mathrm{Re}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathrm{Re}\frac{y(x+\alpha)-y(x)}{\alpha},

för någon infinitesimal α\alpha. Som exempel visar jag derivatan av x2x^2 nedan:

ddxx2=Re(x+α)2-x2α=Re2xα+α2α=Re(2x+α)=2x\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=\mathrm{Re}\frac{(x+\alpha)^2-x^2}{\alpha}=\mathrm{Re}\frac{2x\alpha+\alpha^2}{\alpha}=\mathrm{Re}(2x+\alpha)=2x


Nedan har jag ett bevis för kedjeregeln. Jag skulle vilja försöka göra något liknande för produktregeln, men jag får inte till det. Man skulle kunna använda derivatans definition som den är redan, men det är tråkigt. Jag vill hitta en "genväg" som för kedjeregeln.

Låt y=y(x(t))y=y(x(t)) och låt Δx\Delta x samt Δt\Delta t vara infinitesimala förändringar i xx respektive tt. Vi vet att för någon infinitesimal β\beta:

Δy=dydx·Δx+βΔx\displaystyle \Delta y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \Delta x+\beta\Delta x

Om vi delar såväl högerled som vänsterled med Δt\Delta t erhåller vi:

ΔyΔt=dydx·ΔxΔt+βΔxΔt\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{\Delta x}{\Delta t}+\beta\frac{\Delta x}{\Delta t}

Nu tar vi realdelen av höger- och vänsterled och erhåller:

ReΔyΔt=dydt=Re[dydx·ΔxΔt+βΔxΔt]=dydx·ReΔxΔt=dx/dt+ReΔxΔtβ=0=dydx·dxdt\displaystyle \mathrm{Re}\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\mathrm{Re}[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{\Delta x}{\Delta t}+\beta\frac{\Delta x}{\Delta t}]=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot\underbrace{\mathrm{Re}\frac{\Delta x}{\Delta t}}_{{=\mathrm{d}x}/\mathrm{d}t}+\underbrace{\mathrm{Re}\frac{\Delta x}{\Delta t}\beta}_{{=0}}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

dydt=dydx·dxdt\displaystyle \implies \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

Jag kom på ett väldigt koncist bevis. Om någon är intresserad skriver jag gärna ned det här! :)

Svara Avbryt
Close