Infinitesimaler - bevis för produktregeln utan derivatans definition

God kväll!

Jag sitter och försöker luska fram ett bevis för produktregeln med infinitesimaler, men jag vill inte använda något likt derivatans definition, även om det hade fungerat. Jag har ett bevis för kedjeregeln i mitt system med infinitesimaler. Jag har en realdelsfunktion i mitt system och definierar derivatan utifrån denna:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}:=\mathrm{Re}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathrm{Re}\frac{y(x+\alpha)-y(x)}{\alpha}$,

för någon infinitesimal $\alpha$. Som exempel visar jag derivatan av $x^2$ nedan:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=\mathrm{Re}\frac{(x+\alpha)^2-x^2}{\alpha}=\mathrm{Re}\frac{2x\alpha+\alpha^2}{\alpha}=\mathrm{Re}(2x+\alpha)=2x$

---

Nedan har jag ett bevis för kedjeregeln. Jag skulle vilja försöka göra något liknande för produktregeln, men jag får inte till det. Man skulle kunna använda derivatans definition som den är redan, men det är tråkigt. Jag vill hitta en "genväg" som för kedjeregeln.

Låt $y=y(x(t))$ och låt $\Delta x$ samt $\Delta t$ vara infinitesimala förändringar i $x$ respektive $t$. Vi vet att för någon infinitesimal $\beta$:

$\displaystyle \Delta y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \Delta x+\beta\Delta x$

Om vi delar såväl högerled som vänsterled med $\Delta t$ erhåller vi:

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{\Delta x}{\Delta t}+\beta\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Nu tar vi realdelen av höger- och vänsterled och erhåller:

$\displaystyle \mathrm{Re}\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\mathrm{Re}[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{\Delta x}{\Delta t}+\beta\frac{\Delta x}{\Delta t}]=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot\underbrace{\mathrm{Re}\frac{\Delta x}{\Delta t}}_{{=\mathrm{d}x}/\mathrm{d}t}+\underbrace{\mathrm{Re}\frac{\Delta x}{\Delta t}\beta}_{{=0}}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

$\displaystyle \implies \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$