Jacobian - betydelse och notation

"Kan jacobian tolkas som gradienten av en vektorvärd funktion?"

Yes :).

Okej, såg nämligen notationen $\nabla$f.😃

Yes, någonting med f : R^n -> R :). 

Bumpar fråga 2 här.

Jag skulle säga att beteckningen

$\frac{d(x_1,\dots,x_n)}{d(y_1,\dots,y_n)}$

I de flesta fall avser funktionaldeterminanten eller Jacobideterminanten. Lägg märke till att det måste finns lika många "funktioner" som det finns "variabler", annars får man ju inte bilda en determinant (bildas av en kvadratisk matris).

Men som du redan uppmärksammat slarvar man lite och kallar såväl Jaocbimatrisen som Jacobideterminanten för "Jacbobianen". Funktionalmatrisen är alltså en matris som inte behöver vara kvadratisk. I de flesta fall framgår det glasklart av sammanhanget om det är matrisen eller en skalären (determinanten) som avses.

Jacobianen (matrisen) $\mathbf{J}$ används främst vid koordinattransformationer. Om Jacobianen (determinanten) för en avbildning är nollskild är avbildningen 1 till 1 och på (bijektiv).

Vi använder också Jacobideterminanten när vi löser integraler. När du till exempel byter från rektangulära koordinater till polära koordinater enligt

$x=r\cos(\theta)$

$y=r\sin(\theta)$

är det determinanten (eller mer egentligt absolutbeloppet av)

$\frac{d(x,y)}{d(r,\theta)}=r$

som du multiplicerar med som en sorts skalfaktor för avbildningen. (Det här kommer klarna om någon vecka om ni inte redan läst om integraler i polära koordinater).

Den mest spännande aspekten är kanske att Jacobianen (matrisen) i "kvadrat", $g_{ij}=J^TJ$, utgör avbildningens metriska tensor, dvs den information som bestämmer hur man mäter avstånd i rummet och hur rummet kröks. Det beror på att varje kolonn i matrisen $J$ utgör en kanonisk basvektor för avbildningen.

Tack D4NIEL!

Japp, vi har kört lite integraler och det är väldigt tillfredställande hur den linjära algebran ligger till grund för hela flervarren. 

I vilken kurs börjar man med tensorer? 

Jag skulle tro att du stöter på tensorer på allvar i en kurs i vektoranalys någon gång under årskurs två.

Men du kan redan nu lära dig det enkelt.

Tensorer är som vektorer, fast i flerdimensionell matrisform.

Man får göra tre saker med tensorer.

1. Man får addera dem $A+B$

2. Man får kontrahera dem (typ som matrismultiplikation), t.ex. kontrahera över index $j$ så här: $A^i_jB^j_k=C^i_k$

3. Man får multiplicera dem, då får man en ny tensor som består av de gamla tensorerna. Det är som att klistra ihop två tensorer $A^i_j  B^h_k=C^{ih}_{jk}$

Tensorns viktigaste egenskap är att den är koordinatoberoende och faktiskt kan uttryckas helt utan koordinater.

Jacobianen i sig är väl inte gradienten av en vektorvärd funktion, utan derivatan med avseende på dess oberoende variabel (vektor)? Alltså, om:

$\displaystyle \textbf{f}\left(\textbf{x}\right)=\begin{bmatrix} f_1\left(\textbf{x}\right) & \\ f_2\left(\textbf{x}\right) \\ \vdots & \\ f_n\left(\textbf{x}\right)\end{bmatrix}$

Så har vi att:

$\displaystyle \textbf{J}_\textbf{f}:=\frac{\partial \textbf{f}}{\partial \textbf{x}}=\begin{bmatrix} \nabla^T f_1\left(\textbf{x}\right) \\ \nabla^T f_2\left(\textbf{x}\right) \\ \vdots\\ \nabla^T f_n\left(\textbf{x}\right)\end{bmatrix}$

Ja, din första beteckning stämmer men jag skulle helst avråda från att blanda in gradienten, eller mer egentligt nabla-operatorn, särskilt med ett T på. Även om jag vet att det finns böcker (främst amerikanska) som gillar att uttrycka Jacobianen så. Vi har också skribenter i tråden som tycks gilla det :)

Ett av problemen är att gradienten är ett koordinatoberoende geometriskt koncept. Uttryckt i polära koordinater är gradienten av en funktion $f(r,\theta)$

$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\hat{\theta}$

Och det är inte uttryck med skalfaktorer vi vill ha i jacobimatrisen. Du kan se fler uttryck för gradienten på wikipedia

Ett annat relaterat problem är att gradienten har lite speciella transformationsegenskaper vilket gör att vissa författare anser att det är en radvektor snarare än en kolonnvektor (man säger att gradienten transformerar kovariant).

Vill du uttrycka dig kort och koncist (och alltid korrekt) föreslår jag ditt första uttryck, eller kort och gott $\mathbf{f}^\prime(\mathbf{x}$). Eftersom det är en matris kan du lägga på index för rad (h) och kolonn (k) så här:

$J^h_{\quad k}=\frac{\partial f^h}{\partial x^k}$

Där $\mathbf{f}=(f^1,\dots,f^n)$ och  $\mathbf{x}=(x^1,\dots,x^n)$.

Men tänk på att notation främst är en smaksak och att man av artighet alltid ska försöka anpassa sig till den man kommunicerar med. Vissa gillar inte alls indexnotation eftersom det antyder koordinater :)