24 svar
1042 visningar
åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 19 dec 2017 12:02

Linjär algebra - Diagonalisera matris

 

Uppgift 11

 

Man ska diagonalisera matrisen. 

Jag har ingen aning om hur man ska göra för dom beskriver det inte helt i boken utan hoppar över steg (som dom redan tycker man ska kunna)..

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 19 dec 2017 13:13

Du har en matris A A . För att diagonalisera matrisen så måste du först hitta egenvärdena (det har dom gjort) och sedan egenvektorerna till dessa värden. Det gör du genom att sätta in egenvärdena i matrisen och lösa för (A-λI)x=0 (A-\lambda I)x=0 sen parametrisera lösningen. Utifrån dessa vektorer skapar du en matris P P och sedan är den diagonaliserade matrisen D D givet från D=P-1AP D=P^{-1}AP

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 19 dec 2017 13:15

Så här långt har jag kommit. Något är fel på den nedre matrisen där egenvärdet är 5 (eftersom undre raden ska bli enbart 0 0 0). Hittar någon vad felet är? 

Guggle 1364
Postad: 19 dec 2017 16:26 Redigerad: 19 dec 2017 17:03

Hej Fanny,

Du har slarvat här

Sista raden blir 0, 9, -6 varför du kan addera rad 2 till rad 3 och erhålla

1-2-10-96000 \begin{bmatrix}1 &-2 &-1\\ 0 &-9 &6 \\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2017 15:39

Tack!! Man stirrar sig blind tillslut och hittar inget.. 

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2017 16:44

Nu har jag fortsatt med uppgiften. Jag följde en föreläsning samtidigt och försökte göra som han gjorde i den.. Men jag ser att jag måste gjort fel någonstans igen. Här kommer allt jag gjort efter korrigeringen av felet. 

Jag slutade när jag förstod att det var fel och har gått tillbaka och letat men hittar inte.. 

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2017 16:54

Din egenvektor för λ=5 \lambda=5 är korrekt. Du kan skriva om den till (1,2,3) (1,2,3) om du vill. 

Så du skapar matrisen P som består av E(-1) E(-1) och E(5) E(5) . Sätt P som -1-11102013 .

 

Ett litet tips: Din diagonaliserade matris följer då med dina egenvärden. Eftersom den första och andra kolonnen är från E(-1) E(-1) , medan tredje kolonnen är från E(5) E(5) så kommer din diagonaliserade matris vara D= D= -1000-10005

 

Om du sätter in och utför P-1AP P^{-1}AP så kommer du se att det handlar enbart om hur du lägger egenvärdsvektorerna.

 

Hade du lagt egenvektorerna enligt P=-11-1021130 så hade du fått att första och tredje kolonnen kommer från E(-1) E(-1) och andra kolonnen från E(5) E(5) . Alltså är D=-10005000-1

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2017 17:06

Okej, jag tror jag är med på det du säger.. Men då innebär det att mitt svar egentligen också är rätt? Eller tänker jag fel? 

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2017 17:08 Redigerad: 20 dec 2017 17:09

Din invers verkar vara fel. Du har alltså skapat en matris P P bestående av egenvektorerna till A. Dessa uppgifter hör inte ihop eller? För enligt din första så fick du att för E(-1) E(-1) så var egenvektorerna (-1,1,0)T(-1,0,1)T (-1,1,0)^T\wedge (-1,0,1)^T . Var är dessa?

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2017 17:10

Är det du försöker göra att ortogonal-diagonalisera matrisen A? Så att matrisen P P är ortogonal?

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2017 17:17

Jag följde hur min föreläsare gjorde i ett exempel. Han delade då alla siffror på 2 när han skrev P.. Jag förstod inte riktigt varför, men gjorde detsamma.  

Han partade något att dela med längden på vektorerna för att få fram P.. 

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2017 18:11 Redigerad: 20 dec 2017 18:12
åsbergfanny skrev :

Jag följde hur min föreläsare gjorde i ett exempel. Han delade då alla siffror på 2 när han skrev P.. Jag förstod inte riktigt varför, men gjorde detsamma.  

Han partade något att dela med längden på vektorerna för att få fram P.. 

Jag tror han valde att dela med två av en anledning, så det kan du inte bara göra generellt.

 

 

Metoden man gör är att du hittar egenvärden till en matris A. Sedan hittar du egenvektorerna, och är inte den geometriska multipliciteten samma som den algebraiska så går det ej att diagonalisera matrisen A. Efter du har egenvektorerna (och du vet att den går att diagonalisera) så skapar du en matris P bestående enbart av egenvektorerna, sedan hittar du den diagonaliserade matrisen D utifrån P-1AP P^{-1}AP .

 

Så du verkar ha fastnat på att skapa P. Sätt in dina vektorer (-1,1,0)T,(-1,0,1)T,(1,2,3)T (-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T, (1,2,3)^T i din matris P och använd sedan definitionen så ser du kanske sambandet jag beskrev ovan.

Guggle 1364
Postad: 22 dec 2017 01:12 Redigerad: 22 dec 2017 01:12
woozah skrev :
åsbergfanny skrev :

Jag följde hur min föreläsare gjorde i ett exempel. Han delade då alla siffror på 2 när han skrev P.. Jag förstod inte riktigt varför, men gjorde detsamma.  

Han partade något att dela med längden på vektorerna för att få fram P.. 

Jag tror han valde att dela med två av en anledning, så det kan du inte bara göra generellt.

Lite oklart vad du menar här, men för säkerhets skull vill jag poängtera att  det går alldeles utmärkt att skala om sina egenvektorer med en nollskild konstant om man känner för det (t.ex. om det blir enklare att räkna). Det kan också hända att Fannys föreläsare ville normera egenvektorerna av någon anledning.

Guggle 1364
Postad: 22 dec 2017 01:46 Redigerad: 22 dec 2017 02:02
åsbergfanny skrev :

Okej, jag tror jag är med på det du säger.. Men då innebär det att mitt svar egentligen också är rätt? Eller tänker jag fel? 

Hej Fanny,

Du börjar med att sätta upp en korrekt P, men sedan sätter du plötsligt element 3,3 till 0, se min första röda markering. Du slarvar också lite med dina elementära radoperationer:

 

Om man håller tungan rätt i munnen ger Jacobis metod [P|E] [\mathbf{P|E}] ~ [E|P-1] [\mathbf{E|P^{-1}}]   istället:

[EP-1]=100|-2343-23010|-1-11001|111 [\mathbf{E}\mathbf{P^{-1}}]=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & | &-\frac{2}{3} & \frac{4}{3} &-\frac{2}{3}\\0 & 1 & 0 & | &-1 &-1 &1\\0 & 0 & 1 & | &1 & 1 &1\\\end{pmatrix}

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 22 dec 2017 09:16 Redigerad: 22 dec 2017 09:17
Guggle skrev :
woozah skrev :
åsbergfanny skrev :

Jag följde hur min föreläsare gjorde i ett exempel. Han delade då alla siffror på 2 när han skrev P.. Jag förstod inte riktigt varför, men gjorde detsamma.  

Han partade något att dela med längden på vektorerna för att få fram P.. 

Jag tror han valde att dela med två av en anledning, så det kan du inte bara göra generellt.

Lite oklart vad du menar här, men för säkerhets skull vill jag poängtera att  det går alldeles utmärkt att skala om sina egenvektorer med en nollskild konstant om man känner för det (t.ex. om det blir enklare att räkna). Det kan också hända att Fannys föreläsare ville normera egenvektorerna av någon anledning.

 

Ja, precis. Det var kanske lite otydligt av mig, men det verkar vara ganska konstigt att välja det ändå tycker jag. Att arbeta med heltal är ju rätt bra ändå, enligt mig.

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2017 10:15
woozah skrev :
Guggle skrev :
woozah skrev :
åsbergfanny skrev :

Jag följde hur min föreläsare gjorde i ett exempel. Han delade då alla siffror på 2 när han skrev P.. Jag förstod inte riktigt varför, men gjorde detsamma.  

Han partade något att dela med längden på vektorerna för att få fram P.. 

Jag tror han valde att dela med två av en anledning, så det kan du inte bara göra generellt.

Lite oklart vad du menar här, men för säkerhets skull vill jag poängtera att  det går alldeles utmärkt att skala om sina egenvektorer med en nollskild konstant om man känner för det (t.ex. om det blir enklare att räkna). Det kan också hända att Fannys föreläsare ville normera egenvektorerna av någon anledning.

 

Ja, precis. Det var kanske lite otydligt av mig, men det verkar vara ganska konstigt att välja det ändå tycker jag. Att arbeta med heltal är ju rätt bra ändå, enligt mig.

Precis! Han kallade det normera egenvektorerna. Men det är alltså inte något som jag behöver göra utan jag gör det om jag har "svåra tal"? 

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2017 10:20

Så P ska jag skriva som (-1,1,0) (-01,0,1) Men den sista då? Ska jag skriva (1/3,2/3,1) Eller som någon här skrev tidigare (1,2,3) Spelar det någon roll? Ät det viktiga att sambandet är lika? 

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2017 10:21

Och spelar det någon roll vilken ordning jag sätter vektorerna i? 

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2017 10:38

Såhär fick jag nu.. Men det är inte rätt enligt facit 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2017 11:07

Du har några slarvfel när du multiplicerar ihop matrisen

Möjligt att det finns fler.

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2017 11:11
Stokastisk skrev :

Du har några slarvfel när du multiplicerar ihop matrisen

Möjligt att det finns fler.

Hur kan du få 6/6? -2/6*3 blir väl -6/6 ? 

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2017 11:13

Ja det är alltså -6/6 jag menar att du ska ha där, men om du kollar så har du räknat med att det står -4/6 där och inte -6/6.

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2017 11:38

Nuså fick jag rätt svar. 

-1000-10005 Men på en liknande uppgift fick jag diagonalen omvänt.. Alltså såhär: 5000-1000-1

Är det också rätt svar? 

Guggle 1364
Postad: 27 dec 2017 11:48

Hej Fanny,

egenvärdena i matrisen hamnar i den ordning du själv valt genom placeringen av egenvektorerna (kolonnerna) i P. Om du istället hade valt att sätta

P=1-1-1210301 P=\begin{bmatrix}1 &-1 &-1\\2&1&0\\3&0&1\end{bmatrix} Hade du fått

P-1=1/61/61/6-1/32/3-1/3-1/2-1/21/2 P^{-1}=\begin{bmatrix}1/6 &1/6 &1/6\\-1/3&2/3&-1/3\\-1/2&-1/2&1/2\end{bmatrix}

Och diagonalmatrisen D blir

D=P-1AP=5000-1000-1 D=P^{-1}AP=\begin{bmatrix}5 &0 &0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2017 11:51 Redigerad: 27 dec 2017 11:51

Ja det är det nog. Men notera följande, om  λ1,λ2,λ3 \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 är egenvärdena och v1,v2,v3 v_1, v_2, v_3 är de tillhörande egenvektorerna och man väljer att låta

P=v1v2v3

Så att vektorerna formar kolumnerna i P. Då kommer det gälla att

P-1AP=D=λ1000λ2000λ2

Så man behöver alltså inte multiplicera ihop P-1AP P^{-1}AP för att komma fram till diagonalmatrisen.

 

Notera alltså att vilka värden du får i diagonalen matchar hur du placerade egenvektorerna i P, de kommer komma i samma ordning.

Svara
Close