Prio Matematik 9, Hög höjd uppgift 25

Välkommen till pluggakuten!

Har du verkligen läst rätt i facit?

Det är 1/3 av pianoeleverna som vill spela solo och 2/5 av fiolspelarna som vill spela solo.

Säg att det är bara 3 pianoelever och 5 fiolspelare. Hur blir fördelningen då?

Edit: Jag tog för lätt på uppgiften. Se svaret nedan.

$\frac{2}{3}$av pianisterna spelar i par med $\frac{3}{5}$ av violinisterna, alltså måste $\frac{2}{3}$ av pianisterna vara lika med $\frac{3}{5}$ av violinisterna (annars kan de inte spela i par). Om antalet pianister benämns $p$ och antalet violinister benämns $v$ fås $\frac{2}{3}p = \frac{3}{5}v$. Multiplicera båda leden med 3 och dividera båda leden med 2 så fås $p = \frac{9}{10}v$ (alltså måste $p$ vara mindre än $v$). Vi vet att $p$ och $v$ båda är heltal då vi talar om personer, så $v$ måste vara en multipel av 10 (ty annars fås inte $p$ till ett heltal), och $p$ är således en multipel av 9. Eftersom $v$ är en multipel av 10 och $p$ en multipel av 9 fås att det totala antalet elever är en multipel av 10 + 9 = 19. Med andra ord: om $v$ = 10 fås $p$ = 9, om $v$ = 20 fås $p$ = 18 etc, så det totala antalet elever kan vara 19, 38, 57 o.s.v., vilka alla är delbara med 19.

Om vi således tänker att $p$ = 9 och $v$ = 10 fås $\frac{2}{3}$$p$ till $\frac{2}{3}\times 9 = 6$, och $\frac{3}{5}v$ till $\frac{3}{5}\times 10 =\hspace{0.17em}6$, d.v.s. 6 + 6 = 12 av 19 personer spelar i par, och således spelar $\frac{7}{19}$ solo. 

På grund av att vi talar om multiplar fungerar detta även t.ex. om $p$ = 20 och $v$ = 18:  samma uträkningar som ovan ger att 24 av 38 personer spelar i par, vilket ger att 14 av 38 spelar solo: $\frac{14}{38} = \frac{2\times 7}{2\times 19} =\hspace{0.17em}\frac{7}{19}$, d.v.s.$\frac{7}{19}$ spelar solo.

Tack så jättemycket för svaret KrKujala!