Rätblock V(x)

Om x ökas med Delta-x vad ör volymen då, uttryckt med V?

V'(x)?

F(x+dx) × g(x+dx) × h(x+dx)?

Inte V'(x)  men 
V(x + dx) , där  dx  här betecknar  ∆x ,
dvs   f(x+dx) · g(x+dx) · h(x+dx)

∆V (= med hur mycket ändras volymen) blir då  
V(x + dx) - V(x) ,  dvs
f(x+dx) · g(x+dx) · h(x+dx) –  f(x) · g(x) · h(x)
som då blir svaret på  a)

För att svara på b)
skulle jag använda den deriveringsregel som ska härledas i  3133  :-)
Har du löst 3133?   Börja annars med det.
Bra vägledning i texten.

Tack.

Vet inte om jag fullt ut förstår skillnaden mellan a) och b) till att börja med :p eller, jag gör inte det.

Men 3133 är f'gh + g'fh + h'fg

Men tror mitt svar på b) skulle vara som i trådstartsinlägget. Har redan gjort mitt bästa där, är det fel kan jag inte komma längre.

Det är inte kedjeregeln, så det finns ingen yttre och inre funktion.

Okej.

Då är mitt svar fg'h + f'gh + h'fg.

Det verkar på något sätt vara rätt svar. 

Men är det inte rätt svar på fråga a) också? Ser inte skillnaden 

(b) är bara en omskrivning av derivatans definition:

$\displaystyle \frac{\Delta V\left(x\right)}{\Delta x} = \frac{V\left(x+\Delta x\right)-V\left(x\right)}{\Delta x}$

Då $\Delta x$ är oändligt litet är vi oändligt nära derivatan $V\prime\left(x\right)$, vilket innebär att:

$\displaystyle V\prime\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{V\left(x+\Delta x\right)-V\left(x\right)}{\Delta x}$

Kalla $\Delta x = h$ så får vi definitionen vi är vana vid att se:

$\displaystyle V\prime\left(x\right)=\lim_{h\to 0} \frac{V\left(x+h\right)-V\left(x\right)}{h}$

I (a) har vi bara skrivit ut täljaren av det här uttrycket.

Som jag nämnde i din andra tråd tycker jag inte det är en bra vana att skriva "$f$" istället för $f\left(x\right)$ och så vidare i dessa sammanhang. Det blir inte riktigt rätt, om man ska vara pedantisk. Jag förstår inte varför boken insisterar på detta.

Håller md om att det är enklare och ibland tydligare att skriva  h  n att skriva  ∆x .
Här är tyvärr  h  redan reserverat som funktionsbeteckning.
Men gäller det ett rätblock kan man ju som vanligt beteckna sidlängderna med  a,  b  och  c.
Här blir de funktioner av  x och vi får

V(x) = a(x) · b(x) · c(x)

∆V(x) = a(x+h) · b(x+h) · c(x+h) – a(x) · b(x) · c(x)

Är vi överens om det, så ser jag ingen fara med att här skriva t ex
V' =  (a b c)' =  a' b c + a b´ c + a b c'
För tydlighets skull med mellanslag mellan faktorerna för att alla  '  ska synas bättre.

Se resonsemangen nyligen kring uppgift 3132
https://www.pluggakuten.se/trad/derivata-forenkling-1/

Men visst, det finns säkert andra sammanhang där detta skrivsätt är mindre lämpligt.

Håller med om att det inte är någon fara just här - det är rätt entydigt vad man menar.

Ibland skrivs saker som "$f=f(x)$", vilket ofta (felaktigt) tolkas som att vi kan strunta i att skriva ut $(x)$. Såvitt jag förstår är detta dock ett slarvigt sätt att skriva "$f=x\mapsto f(x)$" (som i sin tur också är slarvigt).

Men detta är som sagt en petitess som inte spelar så jättestor roll. Jag blir bara lite irriterad över att se det i en lärobok, särskilt med tanke på att det formellt sett inte riktigt är helt kosher. Formellt sett är $f$ en mängd, vilket inte $f\left(x\right)$ är.

Varför skriver man bara ut täljaren i a) ? Tror jag förstår men. Hade vi inte kunnat skriva fg'h + f'gh + h'fg och satt in ett X värde? Fast det blir kanske bara då förändringsgastigheten i en punkt då och inget faktiskt värde, även om det mer eller mindre är samma sak.

Är med på att det är en omskrivning av derivatans def. 🙂 

Varför skriver man bara ut täljaren i a)

För att det är det som efterfrågas.

Men du förstår det här, det gör inte jag. Förstår inte skillnaden mellan att fråga efter delta V med avseende på x eller fråga efter derivatan av V(x) med avseende på x.

I (a)-uppgiften så vill uppgiftsmakaren att du ska plocka fram ett uttryck för $V(x+\Delta x)$, alltså det som man brukar beteckna med $\Delta V(x)$ eller bara $\Delta V$. Detta blir alltså täljaren i uttrycket för derivatan. I #4 framgår hur man gör det.

I (b) vill uppgiftsmakaren att man ska ta det man kom fram till i (a) och dela det med $\Delta x$, och sedan låta $\Delta x \to 0$. Då ska man inse att detta är en omskrivning av $V\prime (x)$.

Okej!

Tack för din tid.

naytte skrev:

I (b) vill uppgiftsmakaren att man ska ta det man kom fram till i (a) och dela det med $\Delta x$, och sedan låta $\Delta x \to 0$. Då ska man inse att detta är en omskrivning av $V\prime (x)$.

Så är det.
Uppgiftsmakaren verkar mena att vi ska ta den långa vägen via derivatans definition.
Gjorde vi inte det nyligen för att härleda den vanliga produktregeln?
Det var inte alldeles enkelt! 
https://www.pluggakuten.se/trad/derivatan-av-en-produkt-13/

Med tre faktorer i produkten blir det nog ännu värre men det klart att det går.

Dock krävs det inte uttryckligen i texten att vi ska ta den långa vägen, och när jag såg uppgift 3133  (med sitt lösningstips) fick jag infallet att det borde bli enklare att först lösa den och sedan använda den nya deriveringsregeln för en produkt av tre funktioner för att lösa  b) .

Har någon löst  b)  den långa vägen?