Rotation kring y-axeln med en andragradsfunktion?? (Matematik/Matte 5)

Du måste lösa ut x som funktion av y om du ska använda skivmetoden och integrera i y-led. Det går, men du måste trixa lite och ta hänsyn till olika fall (±).

Prova att istället använda skalmetoden och integrera i x-led!

Förstår inte riktigt. Hade jag inte löst ut x som funktion av y?

Nej, som du sa så hade du ju kvar ett x i högerledet.

Känner du till skalmetoden för att beräkna volymen av rotationskroppar?

Vad händer med x² isåfall? Förstår inte riktigt hur både x² och x ska vara på vänster ledet.

Det är enklare att använda skalmetoden. Då integrerar du i x-led istället och behöver inte krångla med att lösa ut x, hantera olika fall mm.

Men om du absolut vill lösa ut x så kan du ju göra det med pq-formeln eller kvadratkomplettering. Du kan då börja med att skriva om sambandet på formen 0,4x^2 - 2x + 5 - y = 0.

Jaha. Jag ska få ut volymen på ett dricksglas. Jag antar att det inte spelar någon roll om man roterar kring y eller x-axeln?

naturtrean skrev:
Jaha. Jag ska få ut volymen på ett dricksglas. Jag antar att det inte spelar någon roll om man roterar kring y eller x-axeln?

Jo, det gör det nog.

Här kan du läsa en kortfattad beskrivning av skillnaden mellan skivmetoden och skalmetoden.

Känner du till skalmetoden? Om inte så passar det bra att lära sig den nu.

Jag ska testa mig fram med hjälp av det ni sagt. Tror jag har en idé om hur jag ska lösa uppgiften!

Bra. Försök och skriv sedan här hur det går.

Har använt mig av rotation med cylindriska skal nu då man inte behöver krångla till det med de två X:n på det högra ledet. Nu har jag dock fått ut ett negativt svar. Integrerade med gränserna 2.5 till 5 då det är där som glaset har en böjning i form av en andragradsfunktion.

har jag fel gränser eller vad är det som blev fel?

Hur lyder uppgiften egentligen?

Kan du ladda upp en bild av den?

Att det blir negativt kan inte vara rätt, men jag tror vi behöver reda ut vilken form glaset har. Har du ritat?

Detta är uppgiften. Meningen är att man ska räkna ut volymen av glaset.

Jag skulle dela in glaset i tre delar: En cirkulär kon i botten (1), en rak cirkulär cylinder ovanför i mitten (2) och en del utanför och runt cylindern (3).

Ja precis. Så har jag också tänkt. det är 3:an som jag försöker räkna ut nu med den formeln som jag skrev innan. Det är på den delen jag fick negativt svar

Volymen av de första två delarna är lätta att beräkna.

Volymen av den tredje delen kan du få fram genom att integrera de cirkulera skalen från radie x = 2,5 till radie x = 5.

Skalens omkrets är $2\pi x$ men deras höjd $h$ vid radie $x$ är inte $0,4x^2-2x+5$ utan istället $h(x)=5-y(x)=5-0,4x^2+2x+5$ .

Rita den delen i en figur så ser du att det är så.

Smartare än en femteklassarefusket "Kika":

så man ska integrera funktionen y(x) = -5 + 0.4x² + 2x - 5 + 5?

med cylinder metoden alltså

Har du ritat en figur?

Om ja, visa den.
Om nej, gör det och visa den.
Om du inte har någon aning om du ska göra det, scrolla upp och kika på mitt förra svar.

naturtrean skrev:
så man ska integrera funktionen y(x) = -5 + 0.4x² + 2x - 5 + 5?

Nej du ska integrera $2\pi x\cdot h(x)=2\pi x(5-y(x))$ från $x=2,5$ till $x=5$ .

Där $y(x)=0,4x^2-2x+5$

Men det är viktigt att du förstår varför det blir så.

Detta hade jag ritat innan

Snyggt!

Vid vilka y-värden startar och slutar kurvsegmentet?
Hur högt är det streckade området vid t.ex. x = 3?

Har det något med arean att göra. Att man mha höjden och radien kan räkna ut mantelarean och sedan den totala arean och att det är därför man måste ha med höjden och radien i ens beräkningar?

kurvsegmentet startar vid y=2,5 och slutar vid y=5

vid x=3 borde höjden vara lite högre än 2,5, kanske 2,7/2,8?

Nu har jag integrerat med den funktionen som du skrev. Då fick jag istället ett alldeles för stort värde. Jag tror jag gör något fel när jag integrerar?

naturtrean skrev:
Har det något med arean att göra. Att man mha höjden och radien kan räkna ut mantelarean och sedan den totala arean och att det är därför man måste ha med höjden och radien i ens beräkningar?

Ja det stämmer.

Säg till om något av följande är konstigt:

Omkretsen hos ett cylindriskt skal med radie $r$ är $O=2\pi r$ .
Om skalet har höjden $h$ så är mantelarean $A=O\cdot h=2\pi rh$
Om skalet har tjockleken $dr$ så är volymen $dV=2\pi rh dr$

Tror jag förstår det du har skrivit. Är det dV formlen som ska användas för volymen och inte det jag skickat bild på?

Nej nu förvirrar jag mig själv. dV formeln är en del av den formel som ska integreras? Är det kanske så att man ska använda sig av skivmetoden och inte cylindriska skal för att räkna ut volymen. Eller tänker jag fel?

Nej nu förvirrar jag mig själv. dV formeln måste ju vara en del av den formel som ska integreras. Isåfall kanske jag har använt mig av fel metod. Kan det vara så att man ska använda sig av skivmetoden och inte cylindriska skal?

Du skal använda skalmetoden 😉

Ett skal har volymen $dV=2\pi rh$ $dr$

Eftersom $r$ i vårt fall är lika med $x$ så blir skalets volym $dV=2\pi xh$ $dx$ .

Nu återstår bara att komma på ett uttryck för höjden $h$ . Den beror av radien $x$ och det är här du inte riktigt har kommit i mål.

Du skrev:

naturtrean skrev:
kurvsegmentet startar vid y=2,5 och slutar vid y=5
vid x=3 borde höjden vara lite högre än 2,5, kanske 2,7/2,8?

Det här är inte rätt, du beräknar då avståndet från glasets underkant ner till x-axeln (bordet?), dvs den svarta streckade sträckan i figuren:

Istället gäller följande:

Cylinderns höjd $h$ är lika med avståndet mellan glasets överkant $y = 5$ och glasets underkant $y=0,4x^2-2x+5$ . Dvs den röda streckade sträckan i figuren:

Det betyder att $h(x)=5-(0,4x^2-2x+5)$ . Är du med på det?

Ja det hänger jag med på.

Vad bra.

Förstår du då varför det cylindriska skalets volym är $dV=2\pi x(5-(0,4x^2-2x+5))$ $dx$ ?

Ja det blir väl som jag skrev innan med arean. Att höjden och radien x hör ihop och på så sätt får man fram en volym som man roterar kring y-axeln.

Ja höjden och radien hänger ihop.

Men det är inte volymen som roterar runt y-axeln utan volymen "skapas" av att området som begränsas av y = 0,4x^2-2x+5, y = 5 och x = 2,5 roterar runt y-axeln.

Det viktiga här är att du förstår vad som händer och att du kan rita en skiss över detta så att du ser geometrin och kan ta fram ett korrekt uttryck för volymelementet dV.

Jahaa, så man kan tänka som om man integrerar fast då den roterar så kan man tänka att man integrerar 3 dimensionellt. Alltså y(x) tillsammans med y och x gränserna skapar ett område (precis som du sa) som liksom snurrar runt en axel, i detta fall y-axeln. Det blir som en area som går runt en axel och det är det som är volymen.

naturtrean skrev:
Jahaa, så man kan tänka som om man integrerar fast då den roterar så kan man tänka att man integrerar 3 dimensionellt. Alltså y(x) tillsammans med y och x gränserna skapar ett område (precis som du sa) som liksom snurrar runt en axel, i detta fall y-axeln. Det blir som en area som går runt en axel och det är det som är volymen.

Ja det stämmer (förutom att integrationen fortfarande bara är i en dimension, i detta fallet i radiell led)

Det är det som är själva grejen med rotationskroppar.

Men då förstår jag allt tror jag. Problemet var nog det där med att man behöver ta hänsyn till höjden samt radien och att jag inte förstod varför det var så.

Bra.

Läs gärna denna kommentar (och sen hela den tråden). Fråga om det som inte är klart som korvspad.

Tack! Tror jag förstår det mesta. Matte 5 boken hade också förklarat skivmetoden bra med figurer och formler!