Skriv polynomet i faktoriserad form. (Matematik/Matte 3)

Du har kommit till en summa, och vad du behöver är en produkt.
Nollställen hjälper hemskt mycket när det gäller faktorisering.

De betyder att resultatet måste vara en produkt där faktorerna kan vara (x-1), eller (x-2) och inget annat.

Macilaci skrev:
Du har kommit till en summa, och vad du behöver är en produkt.
Nollställen hjälper hemskt mycket när det gäller faktorisering.

De betyder att resultatet måste vara en produkt där faktorerna kan vara (x-1), eller (x-2) och inget annat.

(x-1)(x-2)

x²-2x-x+2

x²-3x+2

Det skulle kunna vara dubbel- eller trippelrötter...

Här kan du antingen göra en ansats eftersom du vet att

$(x-1)(x-2)(x-a)=...$ där HL är en tredjegradare eller så kör du poldiv, dvs att du utför följande division:

$\dfrac{x^3-5x^2+8x-4}{(x-1)(x-2)}$

Ja den var lite knepig. Polyomdivision är enklast, men det har vi inte lärt i matte 3. Dividerar vi $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ med $x - 1$
så får vi $x^{2} - 4 x + 4$ och den kan vi dela upp i ${(x - 2)}^{2}$ Då har vi tre faktorer och två tydliga nollställen.

Med matte3 vet vi att har vi nollställena x₁ x₂ x₃ så kan polynomet skrivas p(x)=a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)
I det här fallet känner vi inte a och x₃, men då kan vi skriva som Dracaena föreslog (x-1)(x-2)(x-a) och då får vi
$(x^{2} - 3 x + 2) (x - a)$ vilket leder till $x^{3} - a x^{2} - 3 x^{2} + 3 a x + 2 x - 2 a$
Vi ser då att om vi ersätter a med 2 så är vi tillbaka till vår ursprungsekvation.

Riktigt varför det blev rätt att ersätta a och x₃ med bara a vet jag inte. Kanske Dracaena kan hjälpa oss med det?

Om vi tittar på $f(x)$ ser vi direkt att koefficienten är 1, skulle det du kallar a vara >1 Conny så måste $x^3$ ha en koefficient som är större än 1. Detta sker eftersom a kommer då multipliceras med varje individuella faktor.

Låt säga att vi tar samma nollställen men låter a (Connys 'a' i detta fallet) vara 3, hur ser polynomet ut då?

$3(x-2)^2(x-1)=3x^3-15x^2+24x-12$ , vi hade då behövet skriva vår ansats som $3(x-2)(x-1)(x-x_3)=HL$ , eftersom vi direkt identiferar koefficienten framför $x^3$ som 3.

I ditt fall Nichrome så har $x^3$ en 1:a framför sig vilket gör att vi kan struna i koefficenten eftersom 1*a=a.

Dvs, titta alltid på termen av högsta grad och identifiera koefficenten, då har du identifierat vad som vanligen betecknas som 'k' när vi skriver ett polynom på faktorform.

$k(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)....$

Dracaena skrev:
Om vi tittar på $f(x)$ ser vi direkt att koefficienten är 1, skulle det du kallar a vara >1 Conny så måste $x^3$ ha en koefficient som är större än 1. Detta sker eftersom a kommer då multipliceras med varje individuella faktor.

Låt säga att vi tar samma nollställen men låter a (Connys 'a' i detta fallet) vara 3, hur ser polynomet ut då?

$3(x-2)^2(x-1)=3x^3-15x^2+24x-12$ , vi hade då behövet skriva vår ansats som $3(x-2)(x-1)(x-x_3)=HL$ , eftersom vi direkt identiferar koefficienten framför $x^3$ som 3.

I ditt fall Nichrome så har $x^3$ en 1:a framför sig vilket gör att vi kan struna i koefficenten eftersom 1*a=a.

Dvs, titta alltid på termen av högsta grad och identifiera koefficenten, då har du identifierat vad som vanligen betecknas som 'k' när vi skriver ett polynom på faktorform.

$k(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)....$

OK jag är med på det. Du råkade väl bara välja a lite olyckligt då det stod för koefficienten i min lärobok. Däremot så hade du väl kunnat använda x₃ som benämning eftersom det är så formeln skrivs i läroböckerna även om den inte representerar ett x-värde som anger en nollpunkt i det här fallet?

Edit: jag ser att du använt x_0, x_1, x₂ men det gör ingen skillnad. Vi hänvisar till samma formel.

Tack Dracaena för att du gjorde dig besväret att svara. Jag hoppas att du förstår att jag inte ville kritisera ditt svar. Det var snarare det att jag behövde förtydliga för mitt eget förstående och förhoppningsvis gav det Nichrome något också.

Tack alla deltagare 😀

Du får kritisera mina svar hur mycket du vill så länge det finns någon mening bakom det. Om du inte är helt säker på något jag skriver ska du absolut fråga eller om något verkar fel får du gärna tycka till. Jag skriver inte alltid rätt och ibland så hoppar jag för många steg.

Jag är van vid att alltid börja vid index 0 om du undrar varför jag gör så. Vi gör så i programmeringen men även i matten. Som du påpekat spelar det ingen roll men det kan vara bra att veta varför jag ofta börjar mina index på 0.

Om du undrar varför jag inte svarade ditt tidigare inlägg var det av två anledningar.

1. Du hade redan lagt ditt din edit så jag tyckte inte jag kunde tillägga mer.
2. Ibland så syns inte vissa trådar eftersom de sorteras efter när man var aktiv senast så de hamnar långt ner om man hinner svara i många andra trådar.

Som vanligt gillar jag att du är nyfiken och verkligen vill lära dig Conny, det är väldigt kul att se vilket driv du har!

Om Nichrome fortfarande har någon fundering får hen självklart fråga på.

ConnyN skrev:
Ja den var lite knepig. Polyomdivision är enklast, men det har vi inte lärt i matte 3. Dividerar vi $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ med $x - 1$
så får vi $x^{2} - 4 x + 4$ och den kan vi dela upp i ${(x - 2)}^{2}$ Då har vi tre faktorer och två tydliga nollställen.

Med matte3 vet vi att har vi nollställena x₁ x₂ x₃ så kan polynomet skrivas p(x)=a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)
I det här fallet känner vi inte a och x₃, men då kan vi skriva som Dracaena föreslog (x-1)(x-2)(x-a) och då får vi
$(x^{2} - 3 x + 2) (x - a)$ vilket leder till $x^{3} - a x^{2} - 3 x^{2} + 3 a x + 2 x - 2 a$
Vi ser då att om vi ersätter a med 2 så är vi tillbaka till vår ursprungsekvation.

Riktigt varför det blev rätt att ersätta a och x₃ med bara a vet jag inte. Kanske Dracaena kan hjälpa oss med det?

jag bara hänger inte med i varför vi plötsligt definierar ytterligare ett nollställe dvs (x-a) då a är en lösning till ekvationen förutom 1 och 2. Det står i uppgiften att polynomet har endast två nollställen.

Eftersom det är ett tredjegradspolynom behöver det 3 faktorer. Men som du var inne på så kan bara a vara 1 eller 2.