Strängt växande/avtagande

Njae, funktionen är inte strängt växande/avtagande där. :)

Smutstvätt skrev:

Njae, funktionen är inte strängt växande/avtagande där. :)

Men om uppgiften i stället hade inkluderat bilden på den ursprungliga funktionen, då hade ju jag svarat med större än eller lika med/mindre än eller lika med. Vad är skillnaden?

Definitionen för strängt växande är ju bara att funktionsvärdet ökar längs x-axeln. Definitionen säger ju inte att derivatan måste vara > 0.

I den här uppgiften gäller det att grafen är strängt växande till och med x = 2,5. Ändå om f'(2,5) = 0, så är funktionsvärdet i punkten x = 2,5 större än punkten precis innan. Definitionen säger då att den är strängt växande. 

Hur är definitionen av strängt växande/avtagande?

Jag håller med dig Zeus.

Svaret borde vara att $f$ är strängt växande för alla $x\geq2,5$ och att den är strängt avtagande för alla $x\leq2,5$.

Så som jag tolkar det så håller Wikipedia med facit. Så här står det:

Ett villkor för att en deriverbar funktion ska vara monoton är att derivatan antingen är större eller lika med noll, eller är mindre eller lika med noll. Detta gäller även för strikt monotona funktioner, så länge som derivatan bara är noll i punkter som är omgivna av punkter där derivatan är strikt större eller mindre än noll.

Jag håller med wikipedia här. När det gäller funktionen $f(x)=x^3$ känns det rimligt att säga att funktionen är strängt växande även då x = 0, eftersom alla punkter runt x = 0 är strikt växande, men denna funktion borde väl vara $f(x)=0,5x^2-2,5x$, om jag inte integrerar helfel. Det skulle kännas märkligt att påstå att funktionen är strikt växande då x = 2,5, med tanke på att funktionen är avtagande till vänster. 

Derivatan är en rät linje, det betyder att själva funktionen måste vara en andragradsfunktion. En andragradsfunktion har ett minimum (eller ett maximum) och där är inte funktionen strängt växande.

Jag håller inte med.

• Eftersom f(x) > f(2,5) för alla x > 2,5 så uppfyller f kriteriet att vara strängt växande även vid x = 2,5.
• Eftersom f(2,5) > f(x) för alla x < 2,5 så uppfyller f kriteriet att vara strängt avtagande även vid x = 2,5.

f är alltså både strängt växande och strängt avtagande vid x = 2,5.

Jag tänker på denna rad från Smaragdalenas citat: 

så länge som derivatan bara är noll i punkter som är omgivna av punkter där derivatan är strikt större eller mindre än noll.

Punkten där derivatan är noll (x = 2,5) är inte enbart omgiven av punkter där derivatan är strikt större än noll. Om denna typ av punkt kan vara strikt växande, vad är då skillnaden mellan strikt växande och växande? 

Wikipedia beskriver skillnaden.

Bland exemplen lyfts just att andragradsfunktionen $g(x)=x^2$ är strängt växande på hela intervallet $x\geq0$ och strängt avtagande på hela intervallet $x\leq0$.

Att den stationära punkten ingår i båda intervallen är gemensamt för alla parabler.

Jag tycker att det säger emot sig självt, men om det är så wikipedia säger, så får jag väl rätta mig efter det. :(

Jag förstår inte vad det är du tycker är en motsägelse.

Men jag håller med om att det är icke-intuitivt på samma sätt som att t.ex. funktionen f(x)=5 är både växande och avtagande överallt.

Men funktionen y = 5 är inte strikt växande någonstans.

Vi kan väl vara överens om att strängt/strikt växande är krångligt?

Smaragdalena skrev:

Men funktionen y = 5 är inte strikt växande någonstans.

Det stämmer, men det har jag inte heller påstått.

Vi kan väl vara överens om att strängt/strikt växande är krångligt?

Ja, eftersom det är så icke-intuitivt.

Problemet är väl delvis att wikipedias definition talar om när en funktion som helhet är strikt växande.

Dvs om för alla x1, x2 $\in$ D_f, x1 < x2 $\Rightarrow$ f(x1) < f(x2).

Definitionen bygger således på jämförelser av funktionens värden i separerade punkter och det blir oklart vad man skulle mena med att funktionen är strikt växande i en enskild punkt.

Man måste således först definiera vad man menar med strikt växande i en enskild punkt för att frågan skall gå att angripa.

Vi hade en liknande uppgift för ett tag sedan och Dr.G skrev ett väldigt bra svar. LÄNK.
Skillnaden är att där talar man tydligt om att det är ett intervall.
Här talar man om en punkt där vi har en derivata och är den noll så har vi varken strängt växande eller avtagande.

Så om jag förstått rätt beror det på om vi studerar en punkt eller ett intervall.
(Som ett kuriosa så finns min fråga på samma exempel och jag var lika frågande som Zeus, men nu efter lite mer studier har jag tydligen ändrat mig 😊 LÄNK )

Nej uppgiften handlar om intervall, inte enstaka punkter.

Frågan gällde för vilka värden oå x (dvs i vilka intervall) som funktionen är strängt växande repektive avtagande.

Korrekt svar borde inkludera x = 2,5 i båda intervallen och inte som det står i facit, att x = 2,5 exkluderas.

Yngve skrev:

Nej uppgiften handlar om intervall, inte enstaka punkter.

Frågan gällde för vilka värden oå x (dvs i vilka intervall) som funktionen är strängt växande repektive avtagande.

Korrekt svar borde inkludera x = 2,5 i båda intervallen och inte som det står i facit, att x = 2,5 exkluderas.

Om du tittar på länkarna jag hänvisade till så ser du att den ena uppgiften handlar om intervall, men den andra inte. 

Det står ingenting om intervall i uppgiften. Hur går man från formuleringen ”för vilka värden på x” till ”vilka intervall”? Det är inte samma sak. I så fall skall svaret på a också vara ett intervall, eller?

Dessutom finns det oändligt många intervall där funktionen är växande, så frågan borde gälla vilket som är det största intervall där funktionen är växande.

Väldigt mycket ”connect  the dots” för läsaren.

PATENTERAMERA skrev:

Det står ingenting om intervall i uppgiften. Hur går man från formuleringen ”för vilka värden på x” till ”vilka intervall”? Det är inte samma sak. I så fall skall svaret på a också vara ett intervall, eller?

Dessutom finns det oändligt många intervall där funktionen är växande, så frågan borde gälla vilket som är det största intervall där funktionen är växande.

Väldigt mycket ”connect  the dots” för läsaren.

Jag hoppas att jag missförstår vad du skriver.

Självklart handlar det om intervall, även om ordet "intervall" inte uttryckligen står i uppgiften.

Självklart förväntas eleven avge svaret i form av ett eller flera intervall på något sätt.

Hur skulle svaret annars avges?

Genom att rabbla upp alla de (ouppräkneligt) oändligt många värden på x för vilka respektive villkor gäller?

ConnyN skrev:

Om du tittar på länkarna jag hänvisade till så ser du att den ena uppgiften handlar om intervall, men den andra inte. 

Vad menade du när du skrev "Här talar man om en punkt där vi har en derivata och är den noll så har vi varken strängt växande eller avtagande."?

Jag trodde du menade uppgiften som denna tråd handlar om.

Yngve skrev:

ConnyN skrev:

Om du tittar på länkarna jag hänvisade till så ser du att den ena uppgiften handlar om intervall, men den andra inte. 

Vad menade du när du skrev "Här talar man om en punkt där vi har en derivata och är den noll så har vi varken strängt växande eller avtagande."?

Jag trodde du menade uppgiften som denna tråd handlar om.

Min fundering är så här:

1) Uppgiften redovisar derivatans graf och fråga a) är "För vilket värde på x är $f´\left(x\right)=0?$"

2) I fråga b) fortsätter man "För vilka värden på x är funktionen f strängt växande respektive avtagande?
Då antar jag att man vill att vi tittar på derivatan och konstaterar att för x<2,5 och att för x>2,5 gäller villkoren.
Dvs. då tittar vi enbart på ett x-värde eftersom vi inte har gjort någon analys utav hur f(x) ser ut. Den uppgiften kommer först i fråga c)

Det kanske är som du säger Yngve att det är helt klart att det är ett intervall man syftar på, men det kanske kan finnas någon funktion där man inte bara kan titta på derivatan och konstatera att intervallet sträcker sig till och med en viss punkt. Kanske den gör ett hopp just där som inte syns på derivatan? Kan det vara så eller är det helt säkert att alla sådana fall är uteslutna?

OK, vi antar att det finns en punkt där funktionen "gör ett hopp" så att denna punkt inte skulle vara med i intervallet/intervallen där villkoren för strängt växande/strängt avtagande gäller.

Det finns då inget som säger att denna punkt ligger just vid x = 2,5. Den skulle lika gärna kunna ligga vid x = -2.

Svaret på frågan skulle då bli att funktionen är strängt avtagande för alla x som uppfyller villkoren $x\leq 2,5$ och $x\neq -2$ (o.s.v.)

Det finns då heller inget som säger att det bara finns en sådan punkt. Det skulle kunna finnas oändligt många sådana punkter, slumpvis utspridda över hela definitionsmångden. Det skulle då vara omöjligt att formulera ett svar på frågan.

============

Vi får tänka på att frågan är från gymnasiekursen Matte 3.

Derivatans graf ser ut att vara en rät linje med konstant positiv lutning, vilket gör att ett rimligt antagande är att derivatans graf faktiskt är en rät linje med konstant positiv lutning. Då är funktionen en andragradsfunktion med positiv koefficient framför $x^2$-termen.

Och då gäller att svaret bör vara som Zeus skrev i trådstarten.

I min lärobok matte 3c i serien Origo hittade jag ett liknande exempel. Där man tittar på derivatan och fråga c)
handlar just om det vi funderar på.

I lösningen säger man att funktionen är strängt växande i intervallet $0<x<6$
i svaret säger man sedan att funktionen är strängt växande i intervallet $0\le x\le 6$, men med tillägget vid sidan om "I det här fallet..."

Det bekräftar vad Yngve säger, men det bekräftar också oss andra som deltagit i tråden en smula att vi får se upp när vi bedömer ett intervall från derivatan. Även svaret i facit kan förstås bättre om vi enbart tittar på vad derivatans tecken visar.

Tack Zeus, Yngve, Smutstvätt, Smaragdalena och Patenteramera som fick mig att rota lite djupare i detta och ökat min förståelse något.