Bestäm största och minsta värde till funktionen f(x, y) = x ^2 − y^ 2.

Den kan jag. Men visa hur du har försökt först, som det står i reglerna.

Hur har du tänkt själv? Det står i Pluggakutens regler att du skall visa hur du har försökt själv och hur långt du har kommit. Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon skall servera dig färdiga lösningar på dina problem. /moderator

Jag vet inte hur jag ska börja. Har inte tidigare löst en sådan uppgift. Försökte läsa lite på internet men hittade inget bra där. 

Du borde känna igen (och om du inte gör det bör du lägga det på minnet) att vid sådana här problem (min-max problem av flervariabelfunktion i ett begränsat område) skall man undersöka:

1. Stationära punkter (punkter där alla partiella derivator är noll)
2. Punkter där funktionen inte är deriverbar
3. Punkter på randen av området.

Här finns lite ytterligare diskussion kring detta:

https://www.pluggakuten.se/trad/optimera-kompakt-omrade/

När jag gör partiell derivation får jag: $$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2x-y^2 \\ f\text{'}\left(y\right)=-2y+x^2 \end{gathered}$$, sedan sätter jag de =0 och får: $$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=-y^2/2 \\ f\text{'}\left(y\right)=x^2/2 \end{gathered}$$.

Här efter vet jag inte hur jag ska fortsätta. Ska sätta in gränsvärdena? och i så fall vart?

Dina derivator är tyvärr fel. Kommer du ihåg att derivatan med avseende på $x$ av något som bara beror på $y$ blir noll?

Du får alltså att derivatan med avseende på $x$ av $y^2$ är noll, och:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x$

Vad blir nu derivatan av $f(x,y)$ med avseende på $y$?

När du fått fram korrekt uttryck för derivatorna skall du sätta dem lika med noll och lösa ekvationssystemet som uppstår. Då får du fram stationära punkter, som eventuellt kan vara funktionens min- eller maxvärden på området.

1hk1 skrev:

När jag gör partiell derivation får jag: $$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2x-y^2 \\ f\text{'}\left(y\right)=-2y+x^2 \end{gathered}$$, sedan sätter jag de =0 och får: $$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=-y^2/2 \\ f\text{'}\left(y\right)=x^2/2 \end{gathered}$$.

 

Här efter vet jag inte hur jag ska fortsätta. Ska sätta in gränsvärdena? och i så fall vart?

Dina beteckningar är inte lyckade. Partiella derivatorna är också funktioner av två variabler. Om man inte har en fin formelskrivare kan man skriva t. ex. $f'_x(x, y)$ för partiella derivatan med avseende på x. 

$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x}=2x, 2x=0, x=0. \\ \frac{{\displaystyle \partial f}}{{\displaystyle \partial y}}=2y, 2y=0, y=0. \end{gathered}$$

Ska det se ut såhär. Kan inte riktigt förstå vad som ska hända sen om jag har gjort rätt.

Ja, vi får alltså punkten $(x,y)=(0,0)$ är en möjlig kandidat, men märk att denna punkt ligger på randen av området (rita upp området ifall du inte redan gjort det!), så vi kan ignorera denna för tillfället eftersom vi ändå skall undersöka randen senare.

Då var vi klara med punkt 1. Hur blir det med punkt 2?