24 svar
1893 visningar
mrlill_ludde behöver inte mer hjälp
mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 18 jan 2019 09:56

Sfäriska koordinaterna

Jag hänger inte med på zz gränser det är ju en halvsfär då går alltid z bara från [0,π][0,\pi]? Helsfär [0,2π][0,2\pi]?

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 18 jan 2019 10:13

Det står ju tydligt att det är enhetsklotet. 

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 18 jan 2019 10:25 Redigerad: 18 jan 2019 10:27

Eller menar du att även θ\theta bör gå mellan [0,2π][0,2\pi]? Det måste den inte.  Tänk om du enbart hade r[0,1]r\in[0,1] och θ[0,π]\theta\in[0,\pi]. Då har du en halv cirkelskiva. Låter du nu den halvcirkeln rotera 360 graders så får du har du ett enhetsklot. Alltså krävs r[0,1]r\in[0,1], θ[0,π]\theta\in[0,\pi] och ϕ[0,2π]\phi\in[0,2\pi].

 

Om du istället ritade en hel cirkelskiva, säg r[0,1]r\in[0,1] och θ[0,2π]\theta\in[0,2\pi] så har du en hel cirkelskiva. Då behöver du enbart rotera den 180 grader för att få ett klot igen, alltså fortfarande ϕ[0,π]\phi\in[0,\pi]. Annars "överlappar" du det som redan finns.

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 12:16 Redigerad: 20 jan 2019 12:16
woozah skrev:

Eller menar du att även θ\theta bör gå mellan [0,2π][0,2\pi]? Det måste den inte.  Tänk om du enbart hade r[0,1]r\in[0,1] och θ[0,π]\theta\in[0,\pi]. Då har du en halv cirkelskiva. Låter du nu den halvcirkeln rotera 360 graders så får du har du ett enhetsklot. Alltså krävs r[0,1]r\in[0,1], θ[0,π]\theta\in[0,\pi] och ϕ[0,2π]\phi\in[0,2\pi].

 

Om du istället ritade en hel cirkelskiva, säg r[0,1]r\in[0,1] och θ[0,2π]\theta\in[0,2\pi] så har du en hel cirkelskiva. Då behöver du enbart rotera den 180 grader för att få ett klot igen, alltså fortfarande ϕ[0,π]\phi\in[0,\pi]. Annars "överlappar" du det som redan finns.

 Okej, så om, om vi hade en kvartscirkelskiva då skulle $$\theta in [0, 2\pi]$$

AlvinB 4014
Postad: 20 jan 2019 14:03

Det här med sfäriska koordinater är det lite klurigt. För att beskriva enhetssfären har vi gränserna r[0,1]r\in[0,1], θ[0,2π]\theta\in[0,2\pi] och ϕ[0,π]\phi\in[0,\pi] (notera att facit byter plats på bokstäverna θ\theta och ϕ\phi, jag använder Wikipedias beteckningar).

Vi kan tänka oss detta som att vi börjar med att rita upp en halv cirkelskiva (motsvarande gränserna r[0,1]r\in[0,1] och ϕ[0,π]\phi\in[0,\pi]) och därefter roterar den ett helt varv (θ[0,2π]\theta\in[0,2\pi]) kring zz-axeln:

vilket ger oss en hel sfär:

Om vi nu ville ha en halvsfär med z0z\geq0 skulle vi justera gränserna för ϕ\phi till att vara ϕ[0,π/2]\phi\in[0,\pi/2]:

och roterar vi detta ett helt varv (θ[0,2π]\theta\in[0,2\pi]) kring z-axeln får vi vår halvsfär:

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 15:25 Redigerad: 20 jan 2019 15:26
AlvinB skrev:

Det här med sfäriska koordinater är det lite klurigt. För att beskriva enhetssfären har vi gränserna r[0,1]r\in[0,1], θ[0,2π]\theta\in[0,2\pi] och ϕ[0,π]\phi\in[0,\pi] (notera att facit byter plats på bokstäverna θ\theta och ϕ\phi, jag använder Wikipedias beteckningar).

Vi kan tänka oss detta som att vi börjar med att rita upp en halv cirkelskiva (motsvarande gränserna r[0,1]r\in[0,1] och ϕ[0,π]\phi\in[0,\pi]) och därefter roterar den ett helt varv (θ[0,2π]\theta\in[0,2\pi]) kring zz-axeln:

vilket ger oss en hel sfär:

Om vi nu ville ha en halvsfär med z0z\geq0 skulle vi justera gränserna för ϕ\phi till att vara ϕ[0,π/2]\phi\in[0,\pi/2]:

och roterar vi detta ett helt varv (θ[0,2π]\theta\in[0,2\pi]) kring z-axeln får vi vår halvsfär:

 hmmmm okej, tror jag hänger med. 

Men jag tänker om det finns ett förållande mellan theta och fi (enl. wikipedias betckningar) som mer eller mindre alltid fungerar?

AlvinB 4014
Postad: 20 jan 2019 15:34

Jag begriper inte riktigt vad du menar med förhållande mellan theta och fi.

Hela poängen är ju att variablerna är oberoende av varandra så att man kan beskriva volymer (som kräver tre oberoende variabler).

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 16:40
AlvinB skrev:

Jag begriper inte riktigt vad du menar med förhållande mellan theta och fi.

Hela poängen är ju att variablerna är oberoende av varandra så att man kan beskriva volymer (som kräver tre oberoende variabler).

 Jahaa jag trodde dom hängde ihop :) 

men om vi tar lite exempel då:


Ex 1. 

Detta är ju då ett halvt klot? och därför går theta (ej wikipedias beteckningar nu) [0,pi]

AlvinB 4014
Postad: 20 jan 2019 16:42 Redigerad: 20 jan 2019 16:43

Var står det att det är ett halvt klot?

"klotet x2+y2+z21x^2+y^2+z^2\leq1" tycker jag ganska tydligt säger att det är hela klotet som avses.

Moffen 1875
Postad: 20 jan 2019 16:43
mrlill_ludde skrev:
AlvinB skrev:

Jag begriper inte riktigt vad du menar med förhållande mellan theta och fi.

Hela poängen är ju att variablerna är oberoende av varandra så att man kan beskriva volymer (som kräver tre oberoende variabler).

 Jahaa jag trodde dom hängde ihop :) 

men om vi tar lite exempel då:


Ex 1. 

Detta är ju då ett halvt klot? och därför går theta (ej wikipedias beteckningar nu) [0,pi]

 Varför får du för dig att det är ett halvt klot? Det är såvitt jag kan se ett "helt" klot.

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 16:45
AlvinB skrev:

Var står det att det är ett halvt klot?

"klotet x2+y2+z21x^2+y^2+z^2\leq1" tycker jag ganska tydligt säger att det är hela klotet som avses.

 Ahhh nej jag läste bara z<=0z <=> och därför tänkte jag att det var halvklot.

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 16:45
Moffen skrev:
mrlill_ludde skrev:
AlvinB skrev:

Jag begriper inte riktigt vad du menar med förhållande mellan theta och fi.

Hela poängen är ju att variablerna är oberoende av varandra så att man kan beskriva volymer (som kräver tre oberoende variabler).

 Jahaa jag trodde dom hängde ihop :) 

men om vi tar lite exempel då:


Ex 1. 

Detta är ju då ett halvt klot? och därför går theta (ej wikipedias beteckningar nu) [0,pi]

 Varför får du för dig att det är ett halvt klot? Det är såvitt jag kan se ett "helt" klot.

  Ahhh nej jag läste bara z<=0z <=> och därför tänkte jag att det var halvklot.

AlvinB 4014
Postad: 20 jan 2019 17:00 Redigerad: 20 jan 2019 17:01

Om du vill ha ett algebraiskt sätt att ta fram gränserna kan du resonera så här:

I Wikipedia-betecknade sfäriska koordinater gäller alltid följande olikheter (dessa olikheter beskriver hela 3\mathbb{R}^3):

  • r0r\geq0
  • 0θ2π0\leq\theta\leq2\pi
  • 0φπ0\leq\varphi\leq\pi

Om vi nu vill beskriva ett helt klot har vi då det kartesiska sambandet x2+y2+z21x^2+y^2+z^2\leq1. Ur det får vi:

x2+y2+z21x^2+y^2+z^2\leq1

rsinφcosθ2+rsinφcosθ2+rcosφ21\left(r\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\theta\right)\right)^2+\left(r\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\theta\right)\right)^2+\left(r\cos\left(\varphi\right)\right)^2\leq1

r2sin2φcos2θ+r2sin2φsin2θ+r2cos2φ1r^2\sin^2\left(\varphi\right)\cos^2\left(\theta\right)+r^2\sin^2\left(\varphi\right)\sin^2\left(\theta\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1

r2sin2φcos2θ+sin2θ+r2cos2φ1r^2\sin^2\left(\varphi\right)\left(\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1

r2sin2φ+r2cos2φ1r^2\sin^2\left(\varphi\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1

r21r^2\leq1

-1r1-1\leq r\leq1

Tillsammans med de övre olikheterna får vi:

  • 0r10\leq r\leq1
  • 0θ2π0\leq\theta\leq2\pi
  • 0φπ0\leq\varphi\leq\pi

som alltså beskriver ett helt klot. Lägger vi till villkoret z0z\geq0 (d.v.s. vi gör om det till ett halvklot) får vi:

z0z\geq0

rcos(φ)0r\cos(\varphi)\geq0

cos(φ)0\cos(\varphi)\geq0

vilket tillsammans med 0φπ0\leq\varphi\leq\pi ger att 0φπ/20\leq\varphi\leq\pi/2 eftersom cos(φ)0\cos(\varphi)\geq0φ[0,π/2]\varphi\in[0,\pi/2], alltså beskrivs ett halvklot med positiv zz-komponent med:

  • 0r10\leq r\leq1
  • 0θ2π0\leq\theta\leq2\pi
  • 0φπ/20\leq\varphi\leq\pi/2
mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 17:39
AlvinB skrev:

Om du vill ha ett algebraiskt sätt att ta fram gränserna kan du resonera så här:

I Wikipedia-betecknade sfäriska koordinater gäller alltid följande olikheter (dessa olikheter beskriver hela 3\mathbb{R}^3):

  • r0r\geq0
  • 0θ2π0\leq\theta\leq2\pi
  • 0φπ0\leq\varphi\leq\pi

Om vi nu vill beskriva ett helt klot har vi då det kartesiska sambandet x2+y2+z21x^2+y^2+z^2\leq1. Ur det får vi:

x2+y2+z21x^2+y^2+z^2\leq1

rsinφcosθ2+rsinφcosθ2+rcosφ21\left(r\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\theta\right)\right)^2+\left(r\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\theta\right)\right)^2+\left(r\cos\left(\varphi\right)\right)^2\leq1

r2sin2φcos2θ+r2sin2φsin2θ+r2cos2φ1r^2\sin^2\left(\varphi\right)\cos^2\left(\theta\right)+r^2\sin^2\left(\varphi\right)\sin^2\left(\theta\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1

r2sin2φcos2θ+sin2θ+r2cos2φ1r^2\sin^2\left(\varphi\right)\left(\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1

r2sin2φ+r2cos2φ1r^2\sin^2\left(\varphi\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1

r21r^2\leq1

-1r1-1\leq r\leq1

Tillsammans med de övre olikheterna får vi:

  • 0r10\leq r\leq1
  • 0θ2π0\leq\theta\leq2\pi
  • 0φπ0\leq\varphi\leq\pi

som alltså beskriver ett helt klot. Lägger vi till villkoret z0z\geq0 (d.v.s. vi gör om det till ett halvklot) får vi:

z0z\geq0

rcos(φ)0r\cos(\varphi)\geq0

cos(φ)0\cos(\varphi)\geq0

vilket tillsammans med 0φπ0\leq\varphi\leq\pi ger att 0φπ/20\leq\varphi\leq\pi/2 eftersom cos(φ)0\cos(\varphi)\geq0φ[0,π/2]\varphi\in[0,\pi/2], alltså beskrivs ett halvklot med positiv zz-komponent med:

  • 0r10\leq r\leq1
  • 0θ2π0\leq\theta\leq2\pi
  • 0φπ/20\leq\varphi\leq\pi/2

 Gäller samma beräkningar/tänk med ellipser och elippsoioder?

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 18:08

Vill bara säga att AlvinB visade geometriskt exakt det jag ville förklara. Fint! :)

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 18:15

mrlill_ludde skrev:

 Gäller samma beräkningar/tänk med ellipser och elippsoioder?

 

Det fungerar alldeles utmärkt. Om du har en enhetssfär så får du att x2+y2+z21x^2+y^2+z^2\leq 1 är, i sfäriska koordinater, r21r^2\leq 1. (använd lite trig-ettor etc så får du detta resultat).

 

Om du istället befinner dig på ellipsoiden x2+y2+4z21x^2+y^2+4z^2\leq 1 så kan du manipulera zz-uttrycket i de sfäriska koordinaterna för att återigen få en vanligt enhetssfär. Tänk t.ex. i stil med:

x=rsin(θ)cos(ϕ)x=rsin(\theta)cos(\phi)

y=rsin(θ)sin(ϕ)y=rsin(\theta)sin(\phi)

z=12rcos(θ)z=\dfrac{1}{2}rcos(\theta).

Nu får du (om du sätter in från ovan) bara att r21r^2\leq 1. M.h.a. koefficienten 1/2 i z-transformationen så har du "dragit ihop" ellipsoiden så att den istället blir en sfär. 

 

Tänk på att när du ändrar de sfäriska koordinaterna får du andra Jacobianer, som nu inte bara är r2sin(θ)r^2sin(\theta).

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 18:25
woozah skrev:

mrlill_ludde skrev:

 Gäller samma beräkningar/tänk med ellipser och elippsoioder?

 

Det fungerar alldeles utmärkt. Om du har en enhetssfär så får du att x2+y2+z21x^2+y^2+z^2\leq 1 är, i sfäriska koordinater, r21r^2\leq 1. (använd lite trig-ettor etc så får du detta resultat).

 

Om du istället befinner dig på ellipsoiden x2+y2+4z21x^2+y^2+4z^2\leq 1 så kan du manipulera zz-uttrycket i de sfäriska koordinaterna för att återigen få en vanligt enhetssfär. Tänk t.ex. i stil med:

x=rsin(θ)cos(ϕ)x=rsin(\theta)cos(\phi)

y=rsin(θ)sin(ϕ)y=rsin(\theta)sin(\phi)

z=12rcos(θ)z=\dfrac{1}{2}rcos(\theta).

Nu får du (om du sätter in från ovan) bara att r21r^2\leq 1. M.h.a. koefficienten 1/2 i z-transformationen så har du "dragit ihop" ellipsoiden så att den istället blir en sfär. 

 

Tänk på att när du ändrar de sfäriska koordinaterna får du andra Jacobianer, som nu inte bara är r2sin(θ)r^2sin(\theta).

 

denna va?

AlvinB 4014
Postad: 20 jan 2019 18:47

Nja, det där är för elliptiska koordinater i två dimensioner.

Nu diskuterar vi ellipsoidiska koordinater i tre dimensioner.

Ett trick du kan använda är att om du vet att determinanten r2sin(φ)r^2\sin(\varphi) (Wikipedia-beteckningar) så kommer den nya determinanten att bli samma sak delat på två, eftersom du multiplicerat en rad av derivator med 12\frac{1}{2}.

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 18:49 Redigerad: 20 jan 2019 18:50
AlvinB skrev:

Nja, det där är för elliptiska koordinater i två dimensioner.

Nu diskuterar vi ellipsoidiska koordinater i tre dimensioner.

Ett trick du kan använda är att om du vet att determinanten r2sin(φ)r^2\sin(\varphi) (Wikipedia-beteckningar) så kommer den nya determinanten att bli samma sak delat på två, eftersom du multiplicerat en rad av derivator med 12\frac{1}{2}.

Men men... exempel 3 här på sid 3.   men kom på det, du sa delat med 2 i en annan tråd. Men ex då? Fel?

AlvinB 4014
Postad: 20 jan 2019 19:02

I det där exemplet integrerar man först i zz-led (som med din metod här) så att man blir kvar med bara en dubbelintegral. Först då gör man ett variabelbyte och går över till elliptiska koordinater. Det är alltså ett variabelbyte för en dubbelintegral man gör där. Man använder inte sfäriska koordinater över huvud taget.

I vissa fall där man har enkla integrander (i exemplet söker man volymen och har därmed integranden 11) kan man ju göra så att man integrerar zz separat och först då gör ett variabelbyte, men då är det inte sfäriska koordinater som är aktuella eftersom man får kvar en tvådimensionell integral.

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 20 jan 2019 19:05
AlvinB skrev:

I det där exemplet integrerar man först i zz-led (som med din metod här) så att man blir kvar med bara en dubbelintegral. Först då gör man ett variabelbyte och går över till elliptiska koordinater. Det är alltså ett variabelbyte för en dubbelintegral man gör där. Man använder inte sfäriska koordinater över huvud taget.

I vissa fall där man har enkla integrander (i exemplet söker man volymen och har därmed integranden 11) kan man ju göra så att man integrerar zz separat och först då gör ett variabelbyte, men då är det inte sfäriska koordinater som är aktuella eftersom man får kvar en tvådimensionell integral.

 Ahhh!! :) Oki! trorr allt börjar klarna nu

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 23 jan 2019 11:25
AlvinB skrev:

I det där exemplet integrerar man först i zz-led (som med din metod här) så att man blir kvar med bara en dubbelintegral. Först då gör man ett variabelbyte och går över till elliptiska koordinater. Det är alltså ett variabelbyte för en dubbelintegral man gör där. Man använder inte sfäriska koordinater över huvud taget.

I vissa fall där man har enkla integrander (i exemplet söker man volymen och har därmed integranden 11) kan man ju göra så att man integrerar zz separat och först då gör ett variabelbyte, men då är det inte sfäriska koordinater som är aktuella eftersom man får kvar en tvådimensionell integral.

 

Men hur blir det med denna då, i sfäriska?? Illustrerat? För denna är ju en halvsfär när allt ligger ovanför 1? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 23 jan 2019 13:17

Nej, halvsfären  har z-koordinater som är lika med eller mindre än 0. Ingenting är större än 1 på något håll. Hade du tänkt lägga in en annan uppgift?

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 23 jan 2019 13:27
Smaragdalena skrev:

Nej, halvsfären  har z-koordinater som är lika med eller mindre än 0. Ingenting är större än 1 på något håll. Hade du tänkt lägga in en annan uppgift?

 Jag tänkte på fel uppg? Men jag menar ändå denna. 

 

För om z är mindre 0. Försöker tänka mig detta i 3D, och försöker förstå varför den går fr pi till pi/2? 

 

Alltså ”backar”??

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 23 jan 2019 14:15

 För att det skall gå åt samma håll som när rr växer från 0 till 1.

Svara
Close